MÉTHODE BAC
Probabilités : arbre et loi binomiale
Définir les événements, construire l’arbre, probabilités totales, formule de Bayes et justification de la loi binomiale.
LE PLAN
Les réflexes à avoir
1. Nommer les événements avec une phrase : « $M$ : le visiteur utilise un mobile ».
2. Construire l’arbre : somme des branches issues d’un nœud $=1$ ; probabilités conditionnelles à partir de la 2e série.
3. Chemin : on multiplie. Total : on additionne les chemins (formule des probabilités totales).
4. Binomiale : justifier $n$, $p$, l’indépendance et les deux issues.
EXEMPLE
Énoncé et arbre
Sur un site, $70\,\%$ des visiteurs utilisent un mobile ($M$). $10\,\%$ des utilisateurs de mobile achètent ; $25\,\%$ des autres achètent. $A$ : « le visiteur achète ».
Arbre : $P(M)=0{,}7$, $P_M(A)=0{,}1$, $P_{\overline M}(A)=0{,}25$ (donc $P(\overline M)=0{,}3$).
EXEMPLE
Probabilités totales
Question : calculer $P(A)$.
$M$ et $\overline M$ forment une partition de l’univers : $P(A)=P(M\cap A)+P(\overline M\cap A)$ (formule des probabilités totales).
$P(A)=0{,}7\times0{,}1+0{,}3\times0{,}25=0{,}07+0{,}075=\mathbf{0{,}145}$.
EXEMPLE
Remonter l’arbre
Question : un visiteur a acheté ; quelle est la probabilité qu’il ait utilisé un mobile ?
$P_A(M)=\dfrac{P(A\cap M)}{P(A)}=\dfrac{0{,}07}{0{,}145}\approx\mathbf{0{,}483}$.
⚠️ Ne pas confondre $P_A(M)$ (ici $\approx0{,}483$) et $P_M(A)$ ($=0{,}1$).
EXEMPLE
Justifier la loi binomiale
Question : on suit $20$ visiteurs, indépendants. $X$ = nombre d’achats. Quelle est la loi de $X$ ? $P(X\ge1)$ ?
Justification : on répète $20$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (achat / pas d’achat) de probabilité de succès $p=0{,}145$. Donc $X\sim\mathcal B(20\,;0{,}145)$.
$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}855^{20}\approx\mathbf{0{,}956}$.
PIÈGES
Ce qui coûte des points
❌ Annoncer « loi binomiale » sans justifier (épreuves identiques, indépendantes, deux issues).
❌ Additionner au lieu de multiplier sur un chemin (et inversement pour les chemins).
❌ Confondre $P_A(B)$ et $P(A\cap B)$ ou $P_B(A)$.
❌ « $A$ et $B$ indépendants » affirmé sans le vérifier : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
QUESTION FLASH
Somme des branches
Dans un arbre pondéré, que vaut la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud ?
Les branches issues d’un nœud décrivent tous les cas possibles : leur somme vaut $1$.
QUESTION FLASH
Justification binomiale
Quelle justification est complète pour affirmer que $X\sim\mathcal B(n\,;p)$ ?
Il faut citer : $n$ répétitions, identiques, indépendantes, avec deux issues de probabilité de succès $p$.
DÉFI
Probabilités totales
$P(M)=0{,}6$, $P_M(A)=0{,}2$ et $P_{\overline M}(A)=0{,}3$. Calculer $P(A)$ (écrire un décimal).
💡 $0{,}6\times0{,}2+0{,}4\times0{,}3$.
$0{,}12+0{,}12=0{,}24$.
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Chapitre terminé
Vous savez rédiger un exercice de probabilités : arbre, probabilités totales, Bayes et loi binomiale justifiée.
Score : 0 / 0
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