MÉTHODE BAC
Intégrales et équations différentielles
Intégration par parties rédigée, aire entre deux courbes, et résolution de $y^{\prime}=ay+b$ avec condition initiale.
LE PLAN
Les réflexes
Intégrale simple : trouver une primitive $F$, puis $F(b)-F(a)$.
Produit « polynôme × exponentielle » : intégration par parties (on dérive le polynôme).
Aire entre deux courbes : $\displaystyle\int_a^b(f-g)$ avec $f\ge g$ (justifier !).
Équation $y^{\prime}=ay+b$ : solution constante $-\dfrac ba$, puis $Ce^{ax}-\dfrac ba$, puis $C$ avec la condition initiale.
EXEMPLE 1
Intégration par parties
Question : calculer $I=\displaystyle\int_0^1x\,e^x\,dx$.
On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime}(x)=e^x$ ; $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;1]$, avec $u^{\prime}(x)=1$ et $v(x)=e^x$.
Par intégration par parties : $I=\Big[xe^x\Big]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-\Big[e^x\Big]_0^1=e-(e-1)$.
✅ $I=1$.
EXEMPLE 2
Aire entre deux courbes
Question : aire entre $y=x$ et $y=x^2$ sur $[0\,;1]$.
Position relative : $x-x^2=x(1-x)\ge0$ sur $[0\,;1]$ : la droite est au-dessus de la parabole.
$\mathcal A=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_0^1=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ u.a.
EXEMPLE 3
Équation différentielle
Question : résoudre $y^{\prime}=2y+6$ avec $y(0)=1$.
Forme générale : $a=2$, $b=6$ : les solutions sont $y(x)=Ce^{2x}-3$ ($C\in\mathbb R$).
Condition initiale : $y(0)=C-3=1$, donc $C=4$.
✅ $y(x)=4e^{2x}-3$ (vérification : $y^{\prime}=8e^{2x}=2y+6$ ✓).
PIÈGES
Ce qui coûte des points
❌ Oublier les crochets et le « $-F(a)$ » : $\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$.
❌ IPP : mal choisir $u$ et $v^{\prime}$ (on dérive le polynôme, on intègre l’exponentielle).
❌ Aire : ne pas justifier quelle courbe est au-dessus.
❌ Équation différentielle : oublier la solution constante $-\dfrac ba$ ou la constante $C$.
QUESTION FLASH
Une primitive
Quelle est une primitive de $f(x)=e^{2x}$ ?
$\left(\dfrac{e^{2x}}2\right)^{\prime}=\dfrac{2e^{2x}}2=e^{2x}$.
QUESTION FLASH
Intégration par parties
Pour calculer $\displaystyle\int_0^1x\,e^x\,dx$ par parties, quel choix est le bon ?
On dérive $x$ (il devient $1$, plus simple) et on intègre $e^x$ (inchangé). Avec le choix B, l’intégrale devient plus compliquée.
DÉFI
La constante $C$
$y^{\prime}=3y-6$ avec $y(0)=5$. La solution constante est $y=2$, donc $y(x)=Ce^{3x}+2$. Que vaut $C$ ?
💡 $y(0)=C+2=5$.
$C+2=5$ donc $C=3$.
✓
Chapitre terminé
Vous savez rédiger une intégration par parties, une aire entre deux courbes et une équation différentielle avec condition initiale.
Score : 0 / 0
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