MÉTHODE BAC
Étudier une fonction
Domaine, limites, dérivée, signe, tableau de variations et conséquences : un exemple rédigé avec $f(x)=x-\ln x$.
LE PLAN
Les étapes d’une étude de fonction
1. Domaine de définition (dénominateur, logarithme, racine…).
2. Limites aux bornes (croissances comparées si besoin) $\Rightarrow$ asymptotes.
3. Dérivée, mise sous forme factorisée, puis signe.
4. Tableau de variations, extremums.
5. Conséquences : signe de $f$, équation $f(x)=k$ (TVI), tangente, convexité.
EXEMPLE
$f(x)=x-\ln x$ : domaine et limites
Domaine : $\ln x$ n’existe que pour $x>0$ : $D_f=]0\,;+\infty[$.
En $0^+$ : $x\to0$ et $\ln x\to-\infty$ donc $f(x)\to+\infty$ : asymptote verticale $x=0$.
En $+\infty$ : $f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)$ et $\dfrac{\ln x}x\to0$ (croissances comparées) donc $f(x)\to+\infty$.
EXEMPLE
Dérivée, signe et tableau de variations
Dérivée : $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $f^{\prime}(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}x$.
Signe : pour $x>0$, le dénominateur est positif : $f^{\prime}(x)$ a le signe de $x-1$.
Variations : $f$ décroît sur $]0\,;1]$ et croît sur $[1\,;+\infty[$.
Minimum : $f(1)=1-\ln1=1$.
EXEMPLE
Conséquences
Signe de $f$ : $f$ a pour minimum $1>0$, donc $f(x)\ge1>0$ pour tout $x>0$. L’équation $f(x)=0$ n’a aucune solution.
Équation $f(x)=3$ : sur $]0\,;1]$ ($f$ continue, strictement décroissante de $+\infty$ à $1$) et sur $[1\,;+\infty[$ ($f$ strictement croissante de $1$ à $+\infty$), le TVI donne une solution sur chaque intervalle : deux solutions.
Convexité : $f^{\prime\prime}(x)=\dfrac1{x^2}>0$ : $f$ est convexe.
PIÈGES
Ce qui coûte des points
❌ Oublier le domaine ou travailler sur $\mathbb R$ alors que $\ln$ impose $x>0$.
❌ Dire « $f^{\prime}(x)=0$ donc extremum » sans montrer le changement de signe.
❌ Appliquer le TVI sans citer la continuité et la stricte monotonie (pour l’unicité).
❌ Dériver sans factoriser : le signe devient illisible.
QUESTION FLASH
Dériver
Quelle est la dérivée de $f(x)=x-\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$ ?
$(x)^{\prime}=1$ et $(\ln x)^{\prime}=\dfrac1x$ : $f^{\prime}(x)=1-\dfrac1x$.
QUESTION FLASH
Appliquer le TVI
Pour affirmer que $f(x)=k$ a une unique solution sur un intervalle, que faut-il vérifier ?
Corollaire du TVI : continuité + stricte monotonie + $k$ compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes.
DÉFI
Un nombre dérivé
Pour $f(x)=x-\ln x$, calculer $f^{\prime}(2)$ (écrire un décimal).
💡 $f^{\prime}(x)=1-\dfrac1x$.
$f^{\prime}(2)=1-\dfrac12=0{,}5$.
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Chapitre terminé
Vous savez conduire une étude de fonction complète et rédiger ses conséquences.
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