MÉTHODE BAC

Géométrie dans l’espace

Droite et plan : représentation paramétrique, intersection, orthogonalité et projeté orthogonal.

LE PLAN

Les outils

Droite $(A\,;\vec u)$ : $\begin{cases}x=x_A+ta\\y=y_A+tb\\z=z_A+tc\end{cases}$, $t\in\mathbb R$.

Plan de vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ : $ax+by+cz+d=0$.

Droite $\perp$ plan $\iff\vec u$ colinéaire à $\vec n$. Droite $\parallel$ plan $\iff\vec u\cdot\vec n=0$.

Intersection : on remplace $x,y,z$ de la droite dans l’équation du plan.

EXEMPLE

$d$ : $\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=1+t\end{cases}$ et $\mathcal P$ : $x+y+z-3=0$.

Position : $\vec u(1\,;2\,;1)$, $\vec n(1\,;1\,;1)$, $\vec u\cdot\vec n=4\neq0$ : $d$ et $\mathcal P$ sont sécants en un point $I$.

Substitution : $(1+t)+2t+(1+t)-3=0\iff4t-1=0\iff t=\dfrac14$.

Coordonnées : $I\left(\dfrac54\,;\dfrac12\,;\dfrac54\right)$.

EXEMPLE

Question : projeté orthogonal $H$ de $M(0\,;0\,;0)$ sur $\mathcal P$ : $x+y+z-3=0$, et distance $MH$.

Droite $(MH)$ : elle passe par $M$ et est dirigée par $\vec n(1\,;1\,;1)$ : $x=t$, $y=t$, $z=t$.

Intersection avec $\mathcal P$ : $3t-3=0\iff t=1$, donc $H(1\,;1\,;1)$.

Distance : $MH=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3$.

PIÈGES

❌ Confondre vecteur normal $(a\,;b\,;c)$ (lu dans l’équation du plan) et vecteur directeur.

❌ Oublier de vérifier qu’un point appartient à un plan (remplacer ses coordonnées).

❌ Erreurs de signe en substituant : recopier chaque coordonnée entre parenthèses.

❌ Conclure « sécants » sans avoir calculé le produit scalaire $\vec u\cdot\vec n$.

QUESTION FLASH

Quel est un vecteur normal au plan $2x-y+3z+1=0$ ?

Les coefficients de $x,y,z$ donnent $\vec n(2\,;-1\,;3)$.

QUESTION FLASH

Une droite de vecteur directeur $\vec u$ et un plan de vecteur normal $\vec n$ sont sécants en un point lorsque :

$\vec u\cdot\vec n\neq0$ : la droite n’est pas parallèle au plan, donc elle le coupe en un unique point.

DÉFI

On cherche l’intersection de $x=t$, $y=t$, $z=t$ avec $x+y+z-3=0$. Quelle est la valeur de $t$ ?

💡 $3t-3=0$.

$t+t+t-3=0\iff t=1$.

✓

Vous savez traiter droite et plan : intersection, orthogonalité, projeté orthogonal et distance.

Score : 0 / 0