TERMINALE SPÉ
Loi binomiale et échantillonnage
Schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, calculs de probabilités, intervalle de fluctuation et prise de décision.
NOTION
Épreuve et schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli n’a que deux issues : le succès $S$ (probabilité $p$) et l’échec $\overline S$ (probabilité $1-p$).
Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ répète $n$ fois cette épreuve, de façon identique et indépendante.
$X=\text{nombre de succès}\ \Longrightarrow\ X\sim\mathcal B(n\,;p)$
ATTENTION
Quand utiliser la loi binomiale ?
✅ Nombre de « pile » en $10$ lancers d’une pièce. Nombre de « 6 » en $20$ lancers d’un dé. Tirages avec remise.
❌ Tirages sans remise dans une petite population : les épreuves ne sont plus indépendantes.
❌ Nombre de lancers nécessaires pour obtenir un premier « 6 » : ici $n$ n’est pas fixé.
💡 Trois questions : deux issues ? $n$ fixé ? indépendance avec le même $p$ ?
SIMULATION
La planche de Galton
Chaque bille tombe de $n$ rangées de clous et va à droite avec la probabilité $p$. L’histogramme se rapproche de $\mathcal B(n\,;p)$.
NOTION
Coefficients binomiaux
$\dbinom nk$ est le nombre de chemins de l’arbre ayant exactement $k$ succès sur $n$ épreuves.
$\dbinom n0=\dbinom nn=1\qquad\dbinom n1=n\qquad\dbinom nk=\dbinom n{n-k}$
$\dbinom nk=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}$
💡 À la calculatrice : touche nCr (ou « Combinaison »).
ANIMATION
Le triangle de Pascal
Choisissez une ligne $n$ : chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus de lui.
FORMULE
Calculer $P(X=k)$
$P(X=k)=\dbinom nk\,p^k\,(1-p)^{n-k}$
$\dbinom nk$ chemins, chacun de probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ (on multiplie le long d’un chemin).
Exemple : $X\sim\mathcal B(5\,;0{,}4)$.
$P(X=2)=\dbinom52\times0{,}4^2\times0{,}6^3=10\times0{,}16\times0{,}216=0{,}3456$
$P(X=2)=\dbinom52\times0{,}4^2\times0{,}6^3=10\times0{,}16\times0{,}216=0{,}3456$
MÉTHODE
Probabilités cumulées et « au moins un »
$P(X\le k)=\displaystyle\sum_{i=0}^kP(X=i)\qquad P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$
$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$
Exemple : au moins un « 6 » en $10$ lancers de dé : $1-\left(\dfrac56\right)^{10}\approx0{,}8385$.
À RETENIR
Espérance et variance
$E(X)=np\qquad V(X)=np(1-p)\qquad\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
Exemple : $X\sim\mathcal B(20\,;0{,}3)$ : $E(X)=6$, $V(X)=20\times0{,}3\times0{,}7=4{,}2$, $\sigma\approx2{,}05$.
💡 En moyenne, on obtient $np$ succès : c’est le sommet de l’histogramme.
MÉTHODE
Combien d’épreuves faut-il ?
On veut au moins un succès avec une probabilité $\ge0{,}99$ quand $p=0{,}1$ : $1-0{,}9^n\ge0{,}99$.
$0{,}9^n\le0{,}01\iff n\ln0{,}9\le\ln0{,}01\iff n\ge\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}9}\approx43{,}7$
⚠️ On divise par $\ln0{,}9<0$ : l’inégalité change de sens. Conclusion : $n\ge44$.
ÉCHANTILLONNAGE
Intervalle de fluctuation
Dans une population où la proportion d’un caractère est $p$, la fréquence $f$ observée sur un échantillon de taille $n$ fluctue autour de $p$.
$I=\left[\,p-1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}\ ;\ p+1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}\,\right]$
⚠️ Conditions : $n\ge30$, $np\ge5$ et $n(1-p)\ge5$.
Exemple : $p=0{,}5$, $n=100$ : $1{,}96\times\sqrt{\dfrac{0{,}25}{100}}=0{,}098$, donc $I=[0{,}402\ ;0{,}598]$.
SIMULATION
Fluctuation d’échantillonnage
Tirez des échantillons : environ $95\,\%$ des fréquences observées tombent dans la bande.
MÉTHODE
Prise de décision
On fait l’hypothèse que la proportion est $p$, puis on prélève un échantillon et on calcule la fréquence $f$.
Si $f\in I$ : on ne rejette pas l’hypothèse. Si $f\notin I$ : on la rejette, avec un risque d’erreur d’environ $5\,\%$.
Exemple : une pièce donne $62$ « pile » en $100$ lancers. Hypothèse : pièce équilibrée ($p=0{,}5$), $I=[0{,}402\ ;0{,}598]$. Or $f=0{,}62\notin I$ : on rejette l’hypothèse.
THÉORÈME
Concentration autour de $p$
Soit $F_n=\dfrac Xn$ la fréquence de succès. Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout $\delta>0$ :
$P\big(|F_n-p|\ge\delta\big)\le\dfrac{p(1-p)}{n\,\delta^2}\le\dfrac1{4n\delta^2}$
Exemple : $n=1000$, $\delta=0{,}05$ : la probabilité est inférieure à $\dfrac1{4\times1000\times0{,}0025}=0{,}1$.
QUESTION FLASH
Reconnaître une loi binomiale
Dans quel cas la variable $X$ suit-elle une loi binomiale ?
Seul le cas A a $n$ fixé, deux issues et des épreuves identiques et indépendantes. B est sans remise ; dans D, $n$ n’est pas fixé.
QUESTION FLASH
Au moins un succès
$X\sim\mathcal B(8\,;0{,}2)$. Que vaut $P(X\ge1)$ ?
$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^8\approx0{,}832$ : l’événement contraire de « aucun succès ».
QUESTION FLASH
Intervalle de fluctuation
Pour $p=0{,}5$ et $n=100$, quel est l’intervalle de fluctuation à $95\,\%$ de la fréquence ?
$1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}5\times0{,}5}{100}}=1{,}96\times0{,}05=0{,}098$, d’où $[0{,}5-0{,}098\ ;0{,}5+0{,}098]$.
DÉFI
Une probabilité binomiale
$X\sim\mathcal B(3\,;0{,}2)$. Calculer $P(X=1)$ (écrire un décimal).
💡 $\dbinom31=3$ et $P(X=1)=3\times0{,}2\times0{,}8^2$.
$P(X=1)=3\times0{,}2\times0{,}64=0{,}384$.
DÉFI
Nombre minimal d’épreuves
On répète une épreuve de succès $p=0{,}2$. Quel est le plus petit entier $n$ tel que $P(X\ge1)\ge0{,}99$ ?
💡 Résolvez $0{,}8^n\le0{,}01$ avec le logarithme, en changeant le sens de l’inégalité.
$n\ge\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}8}\approx20{,}6$, donc $n=21$. (Vérification : $0{,}8^{20}\approx0{,}0115>0{,}01$ et $0{,}8^{21}\approx0{,}0092<0{,}01$.)
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Chapitre terminé
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