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Révision : Loi binomiale et échantillonnage
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RÉVISION · Loi binomiale et échantillonnage
Nombre minimal d’épreuves
On répète une épreuve de succès $p=0{,}2$. Quel est le plus petit entier $n$ tel que $P(X\ge1)\ge0{,}99$ ?
💡 Résolvez $0{,}8^n\le0{,}01$ avec le logarithme, en changeant le sens de l’inégalité.
$n\ge\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}8}\approx20{,}6$, donc $n=21$. (Vérification : $0{,}8^{20}\approx0{,}0115>0{,}01$ et $0{,}8^{21}\approx0{,}0092<0{,}01$.)
RÉVISION · Loi binomiale et échantillonnage
Reconnaître une loi binomiale
Dans quel cas la variable $X$ suit-elle une loi binomiale ?
Seul le cas A a $n$ fixé, deux issues et des épreuves identiques et indépendantes. B est sans remise ; dans D, $n$ n’est pas fixé.
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Intervalle de fluctuation
Pour $p=0{,}5$ et $n=100$, quel est l’intervalle de fluctuation à $95\,\%$ de la fréquence ?
$1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}5\times0{,}5}{100}}=1{,}96\times0{,}05=0{,}098$, d’où $[0{,}5-0{,}098\ ;0{,}5+0{,}098]$.
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Une probabilité binomiale
$X\sim\mathcal B(3\,;0{,}2)$. Calculer $P(X=1)$ (écrire un décimal).
💡 $\dbinom31=3$ et $P(X=1)=3\times0{,}2\times0{,}8^2$.
$P(X=1)=3\times0{,}2\times0{,}64=0{,}384$.
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Au moins un succès
$X\sim\mathcal B(8\,;0{,}2)$. Que vaut $P(X\ge1)$ ?
$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^8\approx0{,}832$ : l’événement contraire de « aucun succès ».
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