TERMINALE SPÉ
Limites et continuité
Asymptotes, opérations sur les limites, croissances comparées, continuité et théorème des valeurs intermédiaires.
NOTION
Limite finie en l’infini
On dit que $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ si $f(x)$ est aussi proche de $\ell$ qu’on le veut dès que $x$ est assez grand.
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$
💡 La droite d’équation $y=\ell$ est alors une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal C_f$ en $+\infty$.
Références : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$ et, pour $n\ge1$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^n}=0$.
ANIMATION
Conjecturer une limite de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$
Choisissez un cas, puis faites avancer $x$ : que fait $f(x)$ ?
NOTION
Limite infinie en un réel $a$
Si $f(x)$ devient aussi grand qu’on le veut quand $x$ se rapproche de $a$, on écrit :
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$
💡 La droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale.
On distingue la limite à gauche ($x\to a^-$) et à droite ($x\to a^+$). Par exemple $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac1x=+\infty$ mais $\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac1x=-\infty$.
RÈGLES
Opérations sur les limites
Somme et produit : $+\infty+\ell=+\infty$, $(+\infty)+(+\infty)=+\infty$, $(+\infty)\times(-\infty)=-\infty$.
Quotient : $\dfrac{\ell}{\pm\infty}=0$ et, si $\ell\neq0$, $\dfrac{\ell}{0^+}=\pm\infty$ selon le signe de $\ell$.
⚠️ Quatre formes indéterminées : $\;+\infty-\infty\;,\quad0\times\infty\;,\quad\dfrac{\infty}{\infty}\;,\quad\dfrac00$
Dans ces cas, il faut transformer l’écriture : factoriser le terme dominant, utiliser la quantité conjuguée…
MÉTHODE
Lever une forme indéterminée
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{x^2+2}$ : c’est une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$.
On factorise le terme dominant : $\dfrac{3x^2-x}{x^2+2}=\dfrac{x^2\left(3-\frac1x\right)}{x^2\left(1+\frac2{x^2}\right)}=\dfrac{3-\frac1x}{1+\frac2{x^2}}$.
Or $\dfrac1x\to0$ et $\dfrac2{x^2}\to0$. Donc la limite vaut $\dfrac{3-0}{1+0}=3$.
💡 Pour une fraction rationnelle en $\pm\infty$ : quotient des termes de plus haut degré.
À RETENIR
Croissances comparées
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^n e^x=0$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\qquad\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$
💡 L’exponentielle l’emporte sur toute puissance ; toute puissance l’emporte sur le logarithme.
THÉORÈMES
Comparaison et gendarmes
Comparaison : si $f(x)\ge g(x)$ au voisinage de $+\infty$ et $\lim g=+\infty$, alors $\lim f=+\infty$.
Gendarmes : si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ et $\lim g=\lim h=\ell$, alors $\lim f=\ell$.
Exemple : $-\dfrac1x\le\dfrac{\sin x}{x}\le\dfrac1x$ pour $x>0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$.
NOTION
Continuité
$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ : on peut tracer la courbe « sans lever le crayon ».
Les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles, racine, exponentielle, logarithme…) sont continues sur leur ensemble de définition.
💡 Dérivable en $a$ $\Rightarrow$ continue en $a$. ⚠️ La réciproque est fausse : $x\mapsto|x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable.
LIEN AVEC LES SUITES
Limite d’une suite récurrente
Si $u_{n+1}=f(u_n)$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors :
$f(\ell)=\ell$
Avec $f(x)=\sqrt{2+x}$ : $\sqrt{2+\ell}=\ell\iff\ell^2-\ell-2=0$, soit $\ell=2$ (car $\ell\ge0$).
THÉORÈME
Théorème des valeurs intermédiaires
Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ :
$\exists\,c\in[a\,;b]\ ,\ f(c)=k$
Corollaire : si de plus $f$ est strictement monotone, ce réel $c$ est unique.
💡 Cas fréquent : $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires, $k=0$ : l’équation $f(x)=0$ a une solution.
ANIMATION
Dichotomie pour $x^3+x-1=0$
On coupe l’intervalle en deux à chaque étape, en gardant la moitié où $f$ change de signe.
EXEMPLE
Rédiger avec le théorème
Montrer que $x^3+x-1=0$ a une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.
$f(x)=x^3+x-1$ est continue sur $[0\,;1]$ et $f^{\prime}(x)=3x^2+1>0$ : $f$ est strictement croissante.
$f(0)=-1<0<1=f(1)$. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha\in[0\,;1]$ tel que $f(\alpha)=0$.
$0{,}682<\alpha<0{,}683$
QUESTION FLASH
Asymptotes
Quelles sont les asymptotes de $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ ?
En $\pm\infty$, $f(x)\to\dfrac{3x}{x}=3$ : asymptote $y=3$. Le dénominateur s’annule en $-1$ (numérateur $-5\neq0$) : asymptote verticale $x=-1$.
QUESTION FLASH
Formes indéterminées
Laquelle de ces écritures est une forme indéterminée ?
$(+\infty)-(+\infty)$ est une forme indéterminée. Les autres donnent $+\infty$, $-\infty$ et $0$.
QUESTION FLASH
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est continue sur $[0\,;2]$, avec $f(0)=3$ et $f(2)=-1$. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?
$0$ est compris entre $-1$ et $3$ : il y a au moins une solution. L’unicité demanderait une stricte monotonie.
DÉFI
Une limite en l’infini
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2+1}{x^2-3}$.
💡 Quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{4x^2}{x^2}$.
$\dfrac{4x^2+1}{x^2-3}=\dfrac{4+\frac1{x^2}}{1-\frac3{x^2}}\longrightarrow\dfrac{4}{1}=4$.
DÉFI
Prolonger par continuité
On définit $f(x)=x^2+k$ si $x\le1$ et $f(x)=3x-1$ si $x>1$. Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?
💡 Comparez $f(1)=1+k$ et la limite à droite en $1$.
Limite à droite : $3\times1-1=2$. Il faut $f(1)=1+k=2$, donc $k=1$.
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Chapitre terminé
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