RÉVISION RAPIDE

Révision : Limites et continuité

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RÉVISION · Limites et continuité

Une limite en l’infini

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2+1}{x^2-3}$.

💡 Quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{4x^2}{x^2}$.

$\dfrac{4x^2+1}{x^2-3}=\dfrac{4+\frac1{x^2}}{1-\frac3{x^2}}\longrightarrow\dfrac{4}{1}=4$.

RÉVISION · Limites et continuité

Laquelle de ces écritures est une forme indéterminée ?

$(+\infty)-(+\infty)$ est une forme indéterminée. Les autres donnent $+\infty$, $-\infty$ et $0$.

RÉVISION · Limites et continuité

Quelles sont les asymptotes de $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ ?

En $\pm\infty$, $f(x)\to\dfrac{3x}{x}=3$ : asymptote $y=3$. Le dénominateur s’annule en $-1$ (numérateur $-5\neq0$) : asymptote verticale $x=-1$.

RÉVISION · Limites et continuité

$f$ est continue sur $[0\,;2]$, avec $f(0)=3$ et $f(2)=-1$. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

$0$ est compris entre $-1$ et $3$ : il y a au moins une solution. L’unicité demanderait une stricte monotonie.

RÉVISION · Limites et continuité

On définit $f(x)=x^2+k$ si $x\le1$ et $f(x)=3x-1$ si $x>1$. Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?

💡 Comparez $f(1)=1+k$ et la limite à droite en $1$.

Limite à droite : $3\times1-1=2$. Il faut $f(1)=1+k=2$, donc $k=1$.

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