TERMINALE SPÉ
Les intégrales
Aire sous une courbe, primitives, calcul d’intégrales, valeur moyenne, aire entre deux courbes et intégration par parties.
NOTION
Intégrale et aire
Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$. L’intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est l’aire du domaine situé sous la courbe, en unités d’aire (u.a.) :
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$
💡 On peut l’approcher par des rectangles : plus ils sont fins, meilleure est l’approximation.
ANIMATION
Approcher l’aire sous $f(x)=x^2$ sur $[0\,;1]$
Augmentez le nombre $n$ de rectangles : la somme se rapproche de $\frac13$.
NOTION
Primitive d’une fonction
$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{\prime}=f$.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
💡 Deux primitives de $f$ diffèrent d’une constante : si $F$ est une primitive, les autres sont $F+C$.
RAPPELS
Primitives usuelles
$x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1)\qquad\dfrac1x\to\ln x\ (x>0)$
$e^x\to e^x\qquad\dfrac1{\sqrt x}\to2\sqrt x$
$\cos x\to\sin x\qquad\sin x\to-\cos x$
À RETENIR
Primitives de fonctions composées
$u^{\prime}e^{u}\to e^{u}\qquad\dfrac{u^{\prime}}{u}\to\ln u\ (u>0)$
$u^{\prime}u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\qquad\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt u}\to2\sqrt u$
$f(x)=2x\,e^{x^2}$ : avec $u=x^2$, $f=u^{\prime}e^u$, donc $F(x)=e^{x^2}$.
$f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ : $f=\dfrac{u^{\prime}}{u}$, donc $F(x)=\ln(x^2+1)$.
THÉORÈME
Calculer une intégrale
Si $F$ est une primitive de $f$ continue sur $[a\,;b]$ :
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b$
$\displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{27}{3}-0=9$
ANIMATION
L’aire est une primitive : $F(x)=\displaystyle\int_0^x t^2\,dt$
Faites avancer $x$ : l’aire grandit, et la courbe jaune $F$ a pour dérivée la courbe bleue $f$.
PROPRIÉTÉS
Propriétés de l’intégrale
Linéarité : $\displaystyle\int_a^b(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^bf+\mu\int_a^bg$.
Chasles : $\displaystyle\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf$.
Positivité : si $f\ge0$ sur $[a\,;b]$ (avec $a\le b$), alors $\displaystyle\int_a^bf\ge0$.
Croissance : si $f\le g$ sur $[a\,;b]$, alors $\displaystyle\int_a^bf\le\int_a^bg$.
⚠️ Si $f\le0$, l’intégrale est négative : elle vaut l’opposé de l’aire.
NOTION
Valeur moyenne
La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ ($a
$\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$
Pour $f(x)=x^2$ sur $[0\,;3]$ : $\mu=\dfrac13\times9=3$.
💡 Un rectangle de hauteur $\mu$ et de base $b-a$ a la même aire que le domaine sous la courbe.
APPLICATION
Aire entre deux courbes
Si $f\ge g$ sur $[a\,;b]$, l’aire du domaine compris entre les deux courbes est :
$\mathcal A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$
Entre $y=x$ et $y=x^2$ sur $[0\,;1]$ : $\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ u.a.
MÉTHODE
Intégration par parties
Si $u$ et $v$ sont dérivables, de dérivées continues, sur $[a\,;b]$ :
$\displaystyle\int_a^bu(x)\,v^{\prime}(x)\,dx=\Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu^{\prime}(x)\,v(x)\,dx$
Calculer $\displaystyle\int_0^1x\,e^x\,dx$ : on pose $u=x$ et $v^{\prime}=e^x$, donc $u^{\prime}=1$ et $v=e^x$.
$\displaystyle\int_0^1x\,e^x\,dx=\Big[xe^x\Big]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1$
QUESTION FLASH
Une primitive
Quelle est une primitive de $f(x)=2x\,e^{x^2}$ ?
$f=u^{\prime}e^u$ avec $u=x^2$ : une primitive est $e^u=e^{x^2}$. (On le vérifie en dérivant : $(e^{x^2})^{\prime}=2x\,e^{x^2}$.)
QUESTION FLASH
Signe d’une intégrale
$f$ est continue et négative sur $[0\,;2]$. Que peut-on dire de $\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx$ ?
Si $f\le0$, $\displaystyle\int_0^2f\le0$ : l’intégrale est l’opposé de l’aire du domaine.
QUESTION FLASH
Relation de Chasles
On sait que $\displaystyle\int_0^3f=5$ et $\displaystyle\int_1^3f=2$. Que vaut $\displaystyle\int_0^1f$ ?
Chasles : $\displaystyle\int_0^3f=\int_0^1f+\int_1^3f$, donc $\displaystyle\int_0^1f=5-2=3$.
DÉFI
Calculer une intégrale
Calculer $\displaystyle\int_1^2(3x^2+1)\,dx$.
💡 Une primitive de $3x^2+1$ est $x^3+x$.
$\Big[x^3+x\Big]_1^2=(8+2)-(1+1)=8$.
DÉFI
Une valeur moyenne
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=2x$ sur $[0\,;4]$.
💡 Calculez d’abord $\displaystyle\int_0^42x\,dx$, puis divisez par $4-0$.
$\displaystyle\int_0^42x\,dx=\Big[x^2\Big]_0^4=16$, donc $\mu=\dfrac{16}{4}=4$.
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Chapitre terminé
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