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Révision : Intégrales

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Relation de Chasles

On sait que $\displaystyle\int_0^3f=5$ et $\displaystyle\int_1^3f=2$. Que vaut $\displaystyle\int_0^1f$ ?

Chasles : $\displaystyle\int_0^3f=\int_0^1f+\int_1^3f$, donc $\displaystyle\int_0^1f=5-2=3$.

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Calculer $\displaystyle\int_1^2(3x^2+1)\,dx$.

💡 Une primitive de $3x^2+1$ est $x^3+x$.

$\Big[x^3+x\Big]_1^2=(8+2)-(1+1)=8$.

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Quelle est une primitive de $f(x)=2x\,e^{x^2}$ ?

$f=u^{\prime}e^u$ avec $u=x^2$ : une primitive est $e^u=e^{x^2}$. (On le vérifie en dérivant : $(e^{x^2})^{\prime}=2x\,e^{x^2}$.)

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Calculer la valeur moyenne de $f(x)=2x$ sur $[0\,;4]$.

💡 Calculez d’abord $\displaystyle\int_0^42x\,dx$, puis divisez par $4-0$.

$\displaystyle\int_0^42x\,dx=\Big[x^2\Big]_0^4=16$, donc $\mu=\dfrac{16}{4}=4$.

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$f$ est continue et négative sur $[0\,;2]$. Que peut-on dire de $\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx$ ?

Si $f\le0$, $\displaystyle\int_0^2f\le0$ : l’intégrale est l’opposé de l’aire du domaine.

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