TERMINALE SPÉ
Géométrie dans l’espace
Vecteurs, produit scalaire, représentations paramétriques de droites, plans et position relative.
NOTION
Vecteurs de l’espace
Dans un repère $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, un point ou un vecteur a trois coordonnées $(x\,;y\,;z)$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}$
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
💡 Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$.
ANIMATION
La relation de Chasles dans un cube
Cliquez sur « Animer » pour reconstruire la diagonale $[AG]$ à partir des arêtes.
NOTION
Colinéarité et coplanarité
$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s’il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec v=\lambda\vec u$ (ou $\vec u=\vec0$).
Trois vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ (avec $\vec u,\vec v$ non colinéaires) sont coplanaires s’il existe $\alpha,\beta$ tels que :
$\vec w=\alpha\,\vec u+\beta\,\vec v$
💡 Quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires si $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
NOTION
Produit scalaire
Dans un repère orthonormé, pour $\vec u(x\,;y\,;z)$ et $\vec v(x'\,;y'\,;z')$ :
$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$
$\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$
Exemple : $\vec u(2\,;1\,;-1)$ et $\vec v(1\,;-1\,;1)$ donnent $2-1-1=0$ : ils sont orthogonaux.
NOTION
Représentation paramétrique d’une droite
La droite $d$ passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(a\,;b\,;c)$ est l’ensemble des points $M(x\,;y\,;z)$ tels que, pour un réel $t$ :
$\begin{cases}x=x_A+ta\\y=y_A+tb\\z=z_A+tc\end{cases}\quad t\in\mathbb R$
💡 Cela revient à écrire $\overrightarrow{AM}=t\,\vec u$.
ANIMATION
Un point qui parcourt une droite
La droite passe par $A(1\,;0\,;1)$ avec $\vec u(1\,;2\,;1)$. Déplacez $t$ et tournez la scène.
EXEMPLE
Travailler avec une représentation paramétrique
Soit $d$ : $\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=1+t\end{cases}$ . Le point $B(3\,;4\,;3)$ est-il sur $d$ ?
$1+t=3\Rightarrow t=2$ ; $2t=4$ ✓ ; $1+t=3$ ✓. Les trois équations donnent le même $t=2$ : $B\in d$.
Et $D(2\,;2\,;3)$ ? $1+t=2\Rightarrow t=1$ ; $2t=2$ ✓ ; mais $1+t=2\neq3$ : $D\notin d$.
NOTION
Plan et vecteur normal
Un vecteur $\vec n$ est normal à un plan $\mathcal P$ s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal P$.
$\mathcal P\,:\ ax+by+cz+d=0\quad\text{avec }\vec n(a\,;b\,;c)$
Plan passant par $A(1\,;0\,;2)$ de normale $\vec n(2\,;-1\,;3)$ : $2x-y+3z+d=0$ et $2+6+d=0$, donc $d=-8$.
$2x-y+3z-8=0$
MÉTHODE
Droite et plan : position relative
Soit $d$ de vecteur directeur $\vec u$ et passant par $A$, et $\mathcal P$ de vecteur normal $\vec n$.
Si $\vec u\cdot\vec n\neq0$ : $d$ et $\mathcal P$ sont sécants en un unique point.
Si $\vec u\cdot\vec n=0$ et $A\notin\mathcal P$ : $d$ est strictement parallèle à $\mathcal P$.
Si $\vec u\cdot\vec n=0$ et $A\in\mathcal P$ : $d$ est contenue dans $\mathcal P$.
ANIMATION
Droite et plan $x+y+z=3$
Choisissez un cas, tournez la scène : le calcul de $\vec u\cdot\vec n$ conclut à votre place.
EXEMPLE
Intersection d’une droite et d’un plan
$d$ : $\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=1+t\end{cases}$ et $\mathcal P$ : $x+y+z-3=0$.
$\vec u(1\,;2\,;1)$, $\vec n(1\,;1\,;1)$ : $\vec u\cdot\vec n=4\neq0$, donc $d$ et $\mathcal P$ sont sécants.
On remplace : $(1+t)+2t+(1+t)-3=0\iff4t-1=0\iff t=\dfrac14$.
$I\left(\dfrac54\,;\dfrac12\,;\dfrac54\right)$
À RETENIR
Orthogonalité et projeté orthogonal
Une droite de vecteur directeur $\vec u$ est orthogonale à un plan de normale $\vec n$ si $\vec u$ et $\vec n$ sont colinéaires.
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
💡 Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal P$ est l’intersection de $\mathcal P$ avec la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec n$. La distance $MH$ est la plus courte distance de $M$ au plan.
QUESTION FLASH
Colinéarité
Que peut-on dire de $\vec u(2\,;-1\,;4)$ et $\vec v(-4\,;2\,;-8)$ ?
$\vec v=-2\vec u$ : ils sont colinéaires. (Et $\vec u\cdot\vec v=-8-2-32\neq0$ : pas orthogonaux.)
QUESTION FLASH
Vecteur normal
Quel est un vecteur normal au plan $3x-2y+z-5=0$ ?
Les coefficients de $x$, $y$, $z$ donnent $\vec n(3\,;-2\,;1)$. Le « $-5$ » n’intervient pas.
QUESTION FLASH
Droite et plan
La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec u(1\,;-1\,;2)$ et le plan $\mathcal P$ pour équation $x+3y+z-4=0$. Que sait-on ?
$\vec n(1\,;3\,;1)$ et $\vec u\cdot\vec n=1-3+2=0$. Il faut ensuite tester un point de $d$ pour savoir si $d$ est contenue dans $\mathcal P$ ou strictement parallèle.
DÉFI
Orthogonalité
Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u(2\,;3\,;-1)$ et $\vec v(1\,;-2\,;k)$ sont-ils orthogonaux ?
💡 Écrivez $\vec u\cdot\vec v=0$.
$\vec u\cdot\vec v=2-6-k=-4-k=0\iff k=-4$.
DÉFI
Une distance
Calculer la norme du vecteur $\vec u(2\,;3\,;6)$.
💡 Utilisez $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$\|\vec u\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.
✓
Chapitre terminé
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