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Révision : Géométrie dans l’espace
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RÉVISION · Géométrie dans l’espace
Droite et plan
La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec u(1\,;-1\,;2)$ et le plan $\mathcal P$ pour équation $x+3y+z-4=0$. Que sait-on ?
$\vec n(1\,;3\,;1)$ et $\vec u\cdot\vec n=1-3+2=0$. Il faut ensuite tester un point de $d$ pour savoir si $d$ est contenue dans $\mathcal P$ ou strictement parallèle.
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Colinéarité
Que peut-on dire de $\vec u(2\,;-1\,;4)$ et $\vec v(-4\,;2\,;-8)$ ?
$\vec v=-2\vec u$ : ils sont colinéaires. (Et $\vec u\cdot\vec v=-8-2-32\neq0$ : pas orthogonaux.)
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Une distance
Calculer la norme du vecteur $\vec u(2\,;3\,;6)$.
💡 Utilisez $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$\|\vec u\|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.
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Vecteur normal
Quel est un vecteur normal au plan $3x-2y+z-5=0$ ?
Les coefficients de $x$, $y$, $z$ donnent $\vec n(3\,;-2\,;1)$. Le « $-5$ » n’intervient pas.
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Orthogonalité
Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u(2\,;3\,;-1)$ et $\vec v(1\,;-2\,;k)$ sont-ils orthogonaux ?
💡 Écrivez $\vec u\cdot\vec v=0$.
$\vec u\cdot\vec v=2-6-k=-4-k=0\iff k=-4$.
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