MATHS EXPERTES
Les matrices
Calcul matriciel, déterminant, matrice inverse, systèmes linéaires, puissances et suites de matrices colonnes.
NOTION
Matrices : définition et opérations
Une matrice $n\times p$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes. Une matrice carrée a $n=p$.
On additionne coefficient par coefficient (même taille) et on multiplie par un réel coefficient par coefficient.
$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad AI_2=I_2A=A$
MÉTHODE
Produit de deux matrices
$AB$ existe si le nombre de colonnes de $A$ = le nombre de lignes de $B$.
$(AB)_{ij}=\displaystyle\sum_{k}a_{ik}\,b_{kj}$
$\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\1&1\end{pmatrix}$
⚠️ Le produit n’est pas commutatif : ici $BA=\begin{pmatrix}3&6\\1&3\end{pmatrix}\neq AB$.
ANIMATION
Une matrice qui transforme le plan
Les colonnes de $M$ sont les images des vecteurs de base. Cliquez sur « Animer » pour voir le carré unité se déformer.
NOTION
Déterminant d’une matrice $2\times2$
$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
La valeur absolue du déterminant est le coefficient d’agrandissement des aires ; son signe indique si l’orientation est conservée.
💡 Si $\det=0$, le carré unité est aplati sur un segment : la matrice n’est pas inversible.
THÉORÈME
Matrice inverse
$A$ est inversible s’il existe $B$ avec $AB=BA=I$. On note $B=A^{-1}$.
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\ \text{inversible}\iff ad-bc\neq0$
$A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ : $\det A=1$, donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$.
MÉTHODE
Résoudre un système avec $A^{-1}$
Le système $\begin{cases}2x+y=5\\5x+3y=13\end{cases}$ s’écrit $AX=Y$ avec $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $Y=\begin{pmatrix}5\\13\end{pmatrix}$.
Comme $A$ est inversible : $X=A^{-1}Y=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.
✅ $x=2$ et $y=1$. Vérification : $2\times2+1=5$ et $5\times2+3\times1=13$.
MÉTHODE
Puissances d’une matrice
Pour $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ : $A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$…
$A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$
💡 Se démontre par récurrence : $A^{n+1}=A^n\times A=\begin{pmatrix}1&n+1\\0&1\end{pmatrix}$.
APPLICATION
Suites de matrices colonnes
Si $X_{n+1}=AX_n$, alors $X_n=A^nX_0$.
Fibonacci : avec $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $X_n=\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}$, on a $X_{n+1}=AX_n$.
$A^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$ : on lit $1,1,2,3,5,8,13,\dots$
💡 Si $X_{n+1}=AX_n+B$, on cherche $X$ tel que $X=AX+B$ ; alors $Y_n=X_n-X$ vérifie $Y_{n+1}=AY_n$ : c’est la suite auxiliaire, version matricielle.
QUESTION FLASH
Taille d’un produit
$A$ est de taille $2\times3$ et $B$ de taille $3\times4$. Quelle est la taille de $AB$ ?
$A$ a $3$ colonnes, $B$ a $3$ lignes : le produit existe, avec autant de lignes que $A$ ($2$) et de colonnes que $B$ ($4$).
QUESTION FLASH
Un déterminant
Quel est le déterminant de $\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$ ?
$3\times3-2\times4=9-8=1$.
QUESTION FLASH
Une puissance
Que vaut $A^3$ pour $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ?
$A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ : pour $n=3$, on obtient la matrice $\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$.
DÉFI
Calculer un déterminant
Calculer $\det\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}$.
💡 $ad-bc$ avec $a=4$, $b=3$, $c=2$, $d=1$.
$4\times1-3\times2=4-6=-2$.
DÉFI
Fibonacci avec une matrice
Pour $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$, on a $A^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$. Que vaut le coefficient en haut à gauche de $A^6$ ?
💡 C’est $F_7$ : la suite commence par $F_1=F_2=1$, puis $2,3,5,8,\dots$
$F_1,\dots,F_7=1,1,2,3,5,8,13$ : le coefficient vaut $F_7=13$.
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Chapitre terminé
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