MATHS EXPERTES
Les nombres complexes
Forme algébrique, conjugué, module, argument, forme exponentielle, formule de Moivre et équations du second degré.
NOTION
Forme algébrique
Il existe un nombre $i$ tel que $i^2=-1$. Tout complexe s’écrit de façon unique :
$z=a+ib\quad(a,b\in\mathbb R)$
$a=\operatorname{Re}(z)$ est la partie réelle, $b=\operatorname{Im}(z)$ la partie imaginaire.
Produit : $(2+i)(3-i)=6-2i+3i-i^2=6+i+1=7+i$.
NOTION
Conjugué et inverse
Le conjugué de $z=a+ib$ est $\overline z=a-ib$.
$z\,\overline z=a^2+b^2\in\mathbb R_+$
Pour diviser, on multiplie par le conjugué du dénominateur :
$\dfrac1{1+i}=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac12-\dfrac12\,i$
ANIMATION
Le plan complexe
Placez $z=a+ib$ : voyez son conjugué, son module, son argument, et l’effet d’une multiplication par $e^{i\varphi}$.
NOTION
Module et argument
Le module est la distance à l’origine : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\,\overline z}$.
Un argument $\theta$ de $z\neq0$ vérifie : $\cos\theta=\dfrac a{|z|}$ et $\sin\theta=\dfrac b{|z|}$. Il est défini à $2\pi$ près.
Exemple : $z=1+i$ : $|z|=\sqrt2$, $\cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}2$, donc $\theta=\dfrac\pi4$.
À RETENIR
Forme trigonométrique et exponentielle
$z=r\,(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,e^{i\theta}\quad(r=|z|)$
$1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ et $i=e^{i\pi/2}$ et $-1=e^{i\pi}$.
💡 Cette écriture transforme les produits en sommes d’angles : $e^{i\theta}e^{i\theta^{\prime}}=e^{i(\theta+\theta^{\prime})}$.
PROPRIÉTÉS
Produit, quotient, puissance
$|zz^{\prime}|=|z|\,|z^{\prime}|$ et $\arg(zz^{\prime})=\arg z+\arg z^{\prime}\ [2\pi]$.
$(r\,e^{i\theta})^n=r^n\,e^{in\theta}\qquad\text{(formule de Moivre)}$
Exemple : $(1+i)^8=\left(\sqrt2\right)^8e^{i\,8\pi/4}=16\,e^{2i\pi}=16$.
MÉTHODE
Équation du second degré dans $\mathbb C$
Si $\Delta<0$, $az^2+bz+c=0$ ($a,b,c$ réels) a deux solutions complexes conjuguées :
$z_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
Exemple : $z^2+2z+5=0$ : $\Delta=4-20=-16$, donc $z=\dfrac{-2\pm4i}2=-1\pm2i$.
GÉOMÉTRIE
Interprétation géométrique
Dans le plan complexe, le point $M(z)$ a pour affixe $z$. Pour $A(z_A)$ et $B(z_B)$ :
$AB=|z_B-z_A|\qquad(\vec u\,;\overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A)\ [2\pi]$
Exemple : $|z-i|=2$ est le cercle de centre $A(i)$ et de rayon $2$.
COMPLÉMENT
Formules d’Euler
$\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\qquad\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
💡 Elles servent à linéariser : $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}2$.
QUESTION FLASH
Conjugué
Quel est le conjugué de $z=3-2i$ ?
On change le signe de la partie imaginaire : $\overline z=3+2i$.
QUESTION FLASH
Module
Quel est le module de $z=3+4i$ ?
$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
QUESTION FLASH
Argument
Quel est un argument de $z=i$ ?
$i=0+1\times i$ : $|i|=1$, $\cos\theta=0$ et $\sin\theta=1$, donc $\theta=\dfrac\pi2$ (modulo $2\pi$).
DÉFI
Un produit
Calculer $(2+i)(3-i)$ et donner sa partie réelle.
💡 Développez, puis utilisez $i^2=-1$.
$(2+i)(3-i)=6-2i+3i-i^2=7+i$ : partie réelle $7$.
DÉFI
Une puissance
Calculer $(1+i)^4$ (le résultat est un réel).
💡 Calculez d’abord $(1+i)^2$, puis élevez au carré.
$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$, donc $(1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4$.
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