MATHS EXPERTES
L’arithmétique
Divisibilité, division euclidienne, congruences, PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres premiers et petit théorème de Fermat.
NOTION
Divisibilité
Pour $a,b\in\mathbb Z$, $a$ divise $b$ s’il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $b=ka$. On note $a\mid b$.
$12\mid60$ car $60=5\times12$ ; $7\mid49$ ; $3\nmid10$.
💡 Si $a\mid b$ et $a\mid c$, alors $a$ divise toute combinaison $bu+cv$ ($u,v\in\mathbb Z$).
THÉORÈME
Division euclidienne
Pour $a\in\mathbb Z$ et $b\in\mathbb N^*$, il existe un unique couple $(q\,;r)$ tel que :
$a=bq+r\quad\text{avec}\quad0\le r
$47=5\times9+2$ donc $q=9$ et $r=2$.
⚠️ Le reste est toujours positif : $-17=5\times(-4)+3$, donc $r=3$ (et non $-2$).
NOTION
Congruences
$a\equiv b\ [n]$ si $n\mid(a-b)$, c’est-à-dire si $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$.
$17\equiv2\ [5]$ car $17-2=15=3\times5$ ; $-17\equiv3\ [5]$.
💡 Les congruences se somment, se multiplient et se mettent à la puissance : si $a\equiv b\ [n]$ alors $a^k\equiv b^k\ [n]$.
ANIMATION
L’horloge modulo $n$
Faites varier $n$ et $a$ : l’aiguille indique le reste $r$ de la division de $a$ par $n$.
MÉTHODE
Calculer un reste de grande puissance
Quel est le chiffre des unités de $7^{2025}$ ? C’est le reste modulo $10$.
$7^1\equiv7$, $7^2\equiv9$, $7^3\equiv3$, $7^4\equiv1\ [10]$ : le cycle revient à $1$.
$2025=4\times506+1$, donc $7^{2025}=(7^4)^{506}\times7\equiv1^{506}\times7\equiv7\ [10]$.
✅ Le chiffre des unités de $7^{2025}$ est 7.
MÉTHODE
Raisonner par disjonction de cas
Montrer que $n^2+1$ n’est jamais divisible par $3$.
Modulo $3$, $n\equiv0$, $1$ ou $2$. Donc $n^2\equiv0$, $1$ ou $4\equiv1$.
Alors $n^2+1\equiv1$ ou $2\ [3]$ : jamais $0$.
💡 On dresse un tableau de restes et on traite chaque cas.
NOTION
PGCD et algorithme d’Euclide
Le PGCD de $a$ et $b$ est leur plus grand diviseur commun. Si $a=bq+r$ :
$\operatorname{pgcd}(a\,;b)=\operatorname{pgcd}(b\,;r)$
$252=2\times105+42\ ;\ 105=2\times42+21\ ;\ 42=2\times21+0$
✅ Le dernier reste non nul est le PGCD : $\operatorname{pgcd}(252\,;105)=21$.
ANIMATION
L’algorithme d’Euclide pas à pas
Choisissez $a$ et $b$ : les divisions successives s’affichent jusqu’au PGCD.
THÉORÈMES
Bézout et Gauss
Bézout : $a$ et $b$ sont premiers entre eux ($\operatorname{pgcd}=1$) $\iff$ il existe $u,v\in\mathbb Z$ tels que $au+bv=1$.
$3\times2+5\times(-1)=1$ : $3$ et $5$ sont premiers entre eux, avec $u=2$ et $v=-1$.
Gauss : si $a\mid bc$ et $\operatorname{pgcd}(a\,;b)=1$, alors $a\mid c$.
💡 Bézout donne un inverse modulaire : $3\times2\equiv1\ [5]$, donc $3x\equiv1\ [5]\iff x\equiv2\ [5]$.
NOTION
Nombres premiers
Un entier $p\ge2$ est premier s’il n’a que deux diviseurs positifs : $1$ et $p$.
Tout entier $n\ge2$ est produit de nombres premiers, de façon unique (à l’ordre près).
💡 Si $n$ n’est pas premier, il a un diviseur premier $\le\sqrt n$.
Exemple : $97$ est premier ? $\sqrt{97}\approx9{,}8$ : on teste $2,3,5,7$ : aucun ne divise $97$. Oui.
THÉORÈME
Petit théorème de Fermat
Si $p$ est premier et ne divise pas $a$ :
$a^{p-1}\equiv1\ [p]$
$2^{10}\equiv1\ [11]$ car $1024=11\times93+1$.
Reste de $3^{100}$ modulo $7$ : $3^6\equiv1$ et $100=6\times16+4$, donc $3^{100}\equiv3^4=81\equiv4\ [7]$.
QUESTION FLASH
Division euclidienne
Quel est le reste de la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?
$-17=5\times(-4)+3$ avec $0\le3<5$ : le reste est $3$. ($-2$ est impossible : un reste est positif.)
QUESTION FLASH
Un PGCD
Quel est le PGCD de $84$ et $36$ ?
$84=2\times36+12$ puis $36=3\times12+0$ : le dernier reste non nul est $12$.
QUESTION FLASH
Produit de congruences
On a $a\equiv3\ [7]$ et $b\equiv5\ [7]$. À quoi $ab$ est-il congru modulo $7$ ?
$ab\equiv3\times5=15=2\times7+1\equiv1\ [7]$. Un reste est toujours entre $0$ et $6$.
DÉFI
Chiffre des unités
Quel est le reste de $7^{2025}$ dans la division par $10$ ?
💡 Cherchez le cycle des puissances de $7$ modulo $10$.
$7^4\equiv1\ [10]$ et $2025=4\times506+1$, donc $7^{2025}\equiv7\ [10]$.
DÉFI
Algorithme d’Euclide
Calculer $\operatorname{pgcd}(210\,;98)$.
💡 $210=2\times98+14$, puis divisez $98$ par $14$.
$210=2\times98+14$ et $98=7\times14+0$ : le PGCD est $14$.
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