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Révision : Arithmétique

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RÉVISION · Arithmétique

Produit de congruences

On a $a\equiv3\ [7]$ et $b\equiv5\ [7]$. À quoi $ab$ est-il congru modulo $7$ ?

$ab\equiv3\times5=15=2\times7+1\equiv1\ [7]$. Un reste est toujours entre $0$ et $6$.

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Quel est le reste de la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?

$-17=5\times(-4)+3$ avec $0\le3<5$ : le reste est $3$. ($-2$ est impossible : un reste est positif.)

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Quel est le reste de $7^{2025}$ dans la division par $10$ ?

💡 Cherchez le cycle des puissances de $7$ modulo $10$.

$7^4\equiv1\ [10]$ et $2025=4\times506+1$, donc $7^{2025}\equiv7\ [10]$.

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Calculer $\operatorname{pgcd}(210\,;98)$.

💡 $210=2\times98+14$, puis divisez $98$ par $14$.

$210=2\times98+14$ et $98=7\times14+0$ : le PGCD est $14$.

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Quel est le PGCD de $84$ et $36$ ?

$84=2\times36+12$ puis $36=3\times12+0$ : le dernier reste non nul est $12$.

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