ENS. SCIENTIFIQUE
Évolution exponentielle discrète
Quand une grandeur augmente (ou diminue) d’un même pourcentage à chaque étape : les suites géométriques.
NOTION
Taux d’évolution et coefficient multiplicateur
$t=\dfrac{V_{\text{finale}}-V_{\text{initiale}}}{V_{\text{initiale}}}\qquad\text{CM}=1+t$
Une hausse de $5\,\%$ : $t=0{,}05$, CM $=1{,}05$.
Une baisse de $20\,\%$ : $t=-0{,}20$, CM $=0{,}8$.
💡 Évoluer de $t$ revient à multiplier par $1+t$.
NOTION
Suite géométrique
Si on multiplie toujours par le même nombre $q$ :
$u_{n+1}=q\,u_n\qquad u_n=u_0\,q^n$
Exemple : $1000$ € placés à $4\,\%$ par an : $u_n=1000\times1{,}04^n$.
Après $10$ ans : $u_{10}=1000\times1{,}04^{10}\approx1480{,}24$ €.
ANIMATION
Évolution à taux constant
Faites varier le taux $t$ et la valeur initiale : observez la courbure, et le temps de doublement ou de division par deux.
MÉTHODE
Reconnaître une suite géométrique
On calcule les quotients $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : s’ils sont tous égaux, la suite est géométrique.
$3\,;6\,;12\,;24$ : quotients $2,2,2$ → géométrique de raison $q=2$ (taux $+100\,\%$).
💡 $q>1$ : croissante (hausse). $0
ATTENTION
Évolutions successives
Les coefficients multiplicateurs se multiplient ; les taux ne s’additionnent pas.
Hausse de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$ : $1{,}1\times0{,}9=0{,}99$.
⚠️ Résultat : une baisse de $1\,\%$, et non un retour à la valeur de départ !
MÉTHODE
Taux global et taux réciproque
Trois hausses de $5\,\%$ : $1{,}05^3=1{,}157625$, soit une hausse globale d’environ $15{,}76\,\%$.
Taux réciproque : après $+25\,\%$ (CM $=1{,}25$), pour revenir au départ on multiplie par $\dfrac1{1{,}25}=0{,}8$ : baisse de $20\,\%$.
APPLICATION
Élimination d’une substance
Un médicament perd $12\,\%$ de sa quantité dans le sang chaque heure. Dose initiale : $80$ mg.
$q=1-0{,}12=0{,}88$ donc $u_n=80\times0{,}88^n$.
Après $5$ h : $80\times0{,}88^5\approx42{,}2$ mg.
QUESTION FLASH
Coefficient multiplicateur
Quel est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $20\,\%$ ?
CM $=1+t=1-0{,}20=0{,}8$.
QUESTION FLASH
Évolutions successives
Une hausse de $10\,\%$ est suivie d’une baisse de $10\,\%$. L’évolution globale est :
$1{,}1\times0{,}9=0{,}99=1-0{,}01$ : une baisse de $1\,\%$.
DÉFI
Un placement
On place $1000$ € à $4\,\%$ par an. Quelle somme possède-t-on après $2$ ans (en euros) ?
💡 $1000\times1{,}04^2$.
$1000\times1{,}04^2=1000\times1{,}0816=1081{,}60$ €.
DÉFI
Des bactéries
Une population de $100$ bactéries double chaque heure. Combien y en a-t-il au bout de $6$ heures ?
💡 $u_n=100\times2^n$.
$u_6=100\times2^6=100\times64=6400$.
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