ENS. SCIENTIFIQUE
Évolution linéaire discrète
Quand une grandeur augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape : les suites arithmétiques.
NOTION
Une évolution linéaire discrète
Une grandeur est mesurée à des instants séparés (jours, mois, années) : $u_0,u_1,u_2,\dots$ C’est une suite.
L’évolution est linéaire si on ajoute toujours la même quantité $r$ d’une étape à la suivante :
$u_{n+1}=u_n+r$
Exemple : un compte reçoit $50$ € chaque mois, avec $300$ € au départ : $u_0=300$ et $r=50$.
ANIMATION
Faites varier $u_0$ et $r$
Les points $(n\,;u_n)$ sont alignés. Que change $r$ ? Que change $u_0$ ?
À RETENIR
Le terme général
$u_n=u_0+n\,r$
$u_n=u_p+(n-p)\,r$
Avec $u_0=300$ et $r=50$ : $u_{12}=300+12\times50=900$ €.
On sait $u_5=550$ : $u_8=550+(8-5)\times50=700$.
MÉTHODE
Reconnaître une suite arithmétique
On calcule les différences $u_{n+1}-u_n$ : si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique.
$12\,;17\,;22\,;27$ : différences $5,5,5$ → arithmétique de raison $r=5$.
$1\,;2\,;4\,;8$ : différences $1,2,4$ → pas arithmétique.
À RETENIR
Sens de variation et graphique
Si $r>0$ : suite croissante. Si $r<0$ : décroissante. Si $r=0$ : constante.
Le nuage de points $(n\,;u_n)$ est aligné sur une droite de coefficient directeur $r$.
💡 C’est le modèle d’une grandeur qui évolue à vitesse constante, mesurée à intervalles réguliers.
MÉTHODE
Somme de termes consécutifs
$S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}2$
$1+2+\cdots+100=100\times\dfrac{1+100}2=5050$.
Les $12$ premiers termes de $u_n=300+50n$ ($u_0$ à $u_{11}=850$) : $S=12\times\dfrac{300+850}2=6900$.
APPLICATION
Croissance d’une plante
Une plante mesure $2$ cm et grandit de $1{,}5$ cm par jour : $h_n=2+1{,}5\,n$ après $n$ jours.
Quand atteint-elle $20$ cm ? $2+1{,}5n=20\iff1{,}5n=18\iff n=12$.
✅ Au bout de $12$ jours. Limite du modèle : une plante ne grandit pas indéfiniment à vitesse constante.
QUESTION FLASH
Calculer un terme
On donne $u_0=10$ et $u_{n+1}=u_n-3$. Que vaut $u_5$ ?
Suite arithmétique de raison $-3$ : $u_5=10+5\times(-3)=-5$.
QUESTION FLASH
Reconnaître la raison
La suite $4\,;9\,;14\,;19\,;\dots$ est arithmétique de premier terme $u_0=4$. Que vaut $u_{10}$ ?
Raison $r=5$ : $u_{10}=4+10\times5=54$.
DÉFI
Quand atteint-on 1000 € ?
Un compte contient $300$ € et reçoit $50$ € par mois : $u_n=300+50n$. Au bout de combien de mois $u_n=1000$ ?
💡 Résolvez $300+50n=1000$.
$50n=700$ donc $n=14$ mois.
DÉFI
Somme des entiers impairs
Calculer $1+3+5+\cdots+19$ (les $10$ premiers entiers impairs).
💡 Nombre de termes $\times$ moyenne du premier et du dernier.
$S=10\times\dfrac{1+19}2=100$.
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