ENS. SCIENTIFIQUE
Statistiques descriptives
Moyenne, médiane, quartiles, dispersion, écart type, histogrammes et diagrammes en boîte.
VOCABULAIRE
Une série statistique
On étudie un caractère sur une population d’individus. Il est quantitatif (une mesure : note, taille) ou qualitatif (une catégorie).
Effectif $n_i$ d’une valeur $x_i$ : nombre d’individus. Fréquence : $f_i=\dfrac{n_i}N$ ($N$ = effectif total).
Notes de $10$ élèves : $8$ (2 élèves), $10$ (3 élèves), $12$ (5 élèves). $N=10$.
NOTION
La moyenne
$\bar x=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}$
$\bar x=\dfrac{2\times8+3\times10+5\times12}{10}=\dfrac{106}{10}=10{,}6$.
💡 C’est une moyenne pondérée : chaque valeur est comptée autant de fois que son effectif.
NOTION
Médiane et quartiles
On range les $N$ valeurs dans l’ordre croissant. La médiane $M_e$ coupe la série en deux : au moins $50\,\%$ des valeurs sont $\le M_e$ et au moins $50\,\%$ sont $\ge M_e$.
$Q_1$ : valeur de rang $\lceil N/4\rceil$. $Q_3$ : valeur de rang $\lceil 3N/4\rceil$.
Exemple : $3\,;5\,;8\,;9\,;12\,;14\,;20$ ($N=7$) : $M_e=9$ (rang $4$), $Q_1=5$ (rang $2$), $Q_3=14$ (rang $6$).
💡 Si $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
ANIMATION
Moyenne ou médiane ?
Une série de $15$ notes dont la dernière $x$ est modifiable. Faites-la varier jusqu’à $0$ ou $20$.
À RETENIR
Sensibilité aux valeurs extrêmes
$10\,;11\,;12\,;13\,;14$ : moyenne $12$, médiane $12$.
On remplace $14$ par $64$ : moyenne $\dfrac{10+11+12+13+64}5=22$, médiane toujours $12$.
✅ La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane est robuste.
DISPERSION
Étendue, écart interquartile, écart type
Étendue : $x_{\max}-x_{\min}$. Écart interquartile : $Q_3-Q_1$ (dispersion de la moitié centrale).
$V=\dfrac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}N\qquad\sigma=\sqrt V$
$2\,;4\,;4\,;4\,;5\,;5\,;7\,;9$ : $\bar x=5$ ; carrés des écarts $9,1,1,1,0,0,4,16$ ; $V=\dfrac{32}8=4$ ; $\sigma=2$.
💡 Plus $\sigma$ (ou $Q_3-Q_1$) est grand, plus les valeurs sont dispersées.
REPRÉSENTATION
Données regroupées en classes
Pour un caractère continu, on regroupe en classes $[a\,;b[$. L’histogramme a des rectangles dont l’aire est proportionnelle à l’effectif.
Classes $[0\,;5[$, $[5\,;10[$, $[10\,;15[$, $[15\,;20]$ d’effectifs $2,6,8,4$ ($N=20$).
Moyenne estimée avec les centres $2{,}5\,;7{,}5\,;12{,}5\,;17{,}5$ : $\dfrac{2\times2{,}5+6\times7{,}5+8\times12{,}5+4\times17{,}5}{20}=\dfrac{220}{20}=11$.
REPRÉSENTATION
Diagramme en boîte
Une « boîte à moustaches » résume la série : minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum.
La boîte contient au moins $50\,\%$ des valeurs : elle va de $Q_1$ à $Q_3$.
Comparer deux classes : A ($Q_1=10$, $M_e=12$, $Q_3=14$) et B ($Q_1=8$, $M_e=12$, $Q_3=16$). Même médiane, mais B est plus dispersée ($8$ contre $4$).
QUESTION FLASH
Une médiane
Quelle est la médiane de la série $3\,;5\,;8\,;9\,;12$ ?
$N=5$ : la médiane est la valeur de rang $3$ : $8$. ($7{,}4$ est la moyenne.)
QUESTION FLASH
Indicateur robuste
Quel indicateur est le moins sensible à une valeur extrême isolée ?
La médiane ne dépend que du rang des valeurs. Moyenne, étendue et écart type sont tous modifiés par une valeur extrême.
QUESTION FLASH
Lire les quartiles
Pour une série, $Q_1=10$ et $Q_3=14$. Que signifie cela ?
Entre $Q_1$ et $Q_3$ se trouve (au moins) la moitié centrale de la série. L’écart interquartile vaut $4$, pas l’étendue.
DÉFI
Une médiane de série paire
Quelle est la médiane de la série $2\,;4\,;4\,;4\,;5\,;5\,;7\,;9$ ?
💡 $N=8$ : moyenne des valeurs de rang $4$ et $5$.
Rangs $4$ et $5$ : $4$ et $5$ ; médiane $=\dfrac{4+5}2=4{,}5$.
DÉFI
Un écart type
Quel est l’écart type de la série $2\,;4\,;4\,;4\,;5\,;5\,;7\,;9$ (moyenne $5$) ?
💡 Somme des carrés des écarts à $5$, divisée par $8$, puis racine carrée.
$V=\dfrac{9+1+1+1+0+0+4+16}8=\dfrac{32}8=4$ et $\sigma=\sqrt4=2$.
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Chapitre terminé
Vous avez revu la moyenne, la médiane, les quartiles, la dispersion, les classes et les diagrammes en boîte.
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