ENS. SCIENTIFIQUE
Le second degré
La forme factorisée : racines, parabole, sommet et signe, analytiquement et graphiquement.
NOTION
Fonction du second degré et parabole
Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ (forme développée).
Sa courbe est une parabole : tournée vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.
💡 Exemples : trajectoire d’un projectile, forme d’un pont suspendu, aire en fonction d’une longueur.
NOTION
La forme factorisée
$f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)$
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul : $f(x)=0\iff x=x_1$ ou $x=x_2$.
Exemple : $f(x)=2(x+1)(x-4)$ : racines $x_1=-1$ et $x_2=4$.
💡 Graphiquement, $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.
ANIMATION
Forme factorisée et parabole
Faites varier $a$, $x_1$ et $x_2$ : les racines placent la parabole, $a$ l’ouvre vers le haut ou le bas.
À RETENIR
Axe de symétrie et sommet
La parabole est symétrique par rapport à la droite d’équation $x=\alpha$ avec :
$\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}$
Le sommet est $S(\alpha\,;f(\alpha))$ : minimum si $a>0$, maximum si $a<0$.
$f(x)=2(x+1)(x-4)$ : $\alpha=\dfrac{-1+4}2=1{,}5$ et $f(1{,}5)=2\times2{,}5\times(-2{,}5)=-12{,}5$.
MÉTHODE
Signe d’une fonction factorisée
$a>0$ : $f$ est positive à l’extérieur des racines, négative entre les racines.
$a<0$ : c’est l’inverse.
$(x-1)(x-3)\ge0$ : $a=1>0$, donc $x\le1$ ou $x\ge3$.
💡 Graphiquement : on cherche où la parabole est au-dessus (positif) ou au-dessous (négatif) de l’axe des abscisses.
LIEN
Passer de la forme factorisée à la forme développée
$a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)\,x+a\,x_1x_2$
$2(x+1)(x-4)=2(x^2-3x-4)=2x^2-6x-8$.
💡 Dans la forme développée $ax^2+bx+c$ : $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=a\,x_1x_2$.
MÉTHODE
Factoriser pour résoudre
Résoudre $x^2-5x+6=0$ : on cherche deux nombres de somme $5$ et de produit $6$ : $2$ et $3$.
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, donc $S=\{2\,;3\}$.
$x^2-5x+6<0\iff20$).
APPLICATION
Trajectoire d’un projectile
La hauteur (en m) d’une balle lancée est $h(t)=-5\,t\,(t-4)$ ($t$ en secondes).
Racines : $t=0$ (lancer) et $t=4$ (retour au sol).
Sommet : $\alpha=\dfrac{0+4}2=2$ s et $h(2)=-5\times2\times(-2)=20$ m.
✅ Hauteur maximale : $20$ m, atteinte au milieu du vol ($a=-5<0$ : maximum).
QUESTION FLASH
Lire les racines
Quelles sont les racines de $f(x)=3(x-2)(x+5)$ ?
$x-2=0\iff x=2$ et $x+5=0\iff x=-5$. Le $3$ est le coefficient $a$, pas une racine.
QUESTION FLASH
Signe
Sur quel ensemble a-t-on $f(x)=-(x-1)(x-4)\ge0$ ?
$a=-1<0$ : la fonction est positive entre les racines, donc sur $[1\,;4]$.
DÉFI
Abscisse du sommet
Quelle est l’abscisse du sommet de la parabole $f(x)=(x-1)(x-7)$ ?
💡 La moyenne des deux racines.
$\alpha=\dfrac{1+7}2=4$.
DÉFI
Valeur minimale
Quelle est la valeur minimale de $f(x)=2(x-1)(x-5)$ ?
💡 Le minimum est atteint en $\alpha=\dfrac{1+5}2$ ; calculez $f(\alpha)$.
$\alpha=3$ et $f(3)=2\times2\times(-2)=-8$.
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