ENS. SCIENTIFIQUE

Phénomènes aléatoires

Tableau à double entrée, probabilités conditionnelles, arbre de probabilité et indépendance.

RAPPELS

Probabilité et événements

Si les issues sont équiprobables : $P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

Contraire : $P(\overline A)=1-P(A)$. Union : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

💡 $A\cap B$ : « $A$ et $B$ ». $A\cup B$ : « $A$ ou $B$ ».

NOTION

Le tableau à double entrée

Dans un lycée, on interroge $200$ élèves : fille ($F$) ou garçon ($G$) ; demi-pensionnaire ($D$) ou externe ($E$).

$F\cap D$ : $70$ ; $F\cap E$ : $30$ ; $G\cap D$ : $50$ ; $G\cap E$ : $50$.

Totaux : $F=100$, $G=100$, $D=120$, $E=80$. Donc $P(F)=0{,}5$ et $P(D)=0{,}6$.

ANIMATION

Un tableau à double entrée

Modifiez les effectifs, puis choisissez une condition : le tableau se « restreint » à une ligne ou à une colonne.

À RETENIR

Probabilité conditionnelle

La probabilité de $B$ sachant $A$ (avec $P(A)\neq0$) est :

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Sur le tableau : $P_F(D)=\dfrac{70}{100}=0{,}7$ (on se place sur la ligne $F$).

$P_D(F)=\dfrac{70}{120}=\dfrac7{12}\approx0{,}583$ (colonne $D$).

⚠️ En général $P_A(B)\neq P_B(A)$ : le dénominateur n’est pas le même.

MÉTHODE

L’arbre pondéré

Sur chaque branche : une probabilité (conditionnelle à partir de la 2^e série). La somme des branches issues d’un même nœud vaut $1$.

Le long d’un chemin, on multiplie : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

Tableau → arbre : $P(F)=0{,}5$, $P_F(D)=0{,}7$, $P_G(D)=\dfrac{50}{100}=0{,}5$.

ANIMATION

Un arbre pondéré

Modifiez les probabilités des branches : l’arbre calcule les chemins, $P(B)$ et $P_B(A)$.

MÉTHODE

Probabilités totales

$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)$

Exemple : $P(F)=0{,}5$ ; $P(D)=0{,}5\times0{,}7+0{,}5\times0{,}5=0{,}35+0{,}25=0{,}6$.

💡 Sur l’arbre : on additionne les chemins qui mènent à $B$.

EXEMPLE

Remonter l’arbre

Il pleut avec la probabilité $0{,}3$. S’il pleut, le bus a du retard avec la probabilité $0{,}4$ ; sinon avec $0{,}1$.

$P(\text{retard})=0{,}3\times0{,}4+0{,}7\times0{,}1=0{,}12+0{,}07=0{,}19$.

Le bus est en retard : quelle est la probabilité qu’il pleuve ? $P_{\text{retard}}(\text{pluie})=\dfrac{0{,}12}{0{,}19}\approx0{,}632$.

NOTION

Événements indépendants

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, c’est-à-dire $P_A(B)=P(B)$.

Test sur le tableau : $P(F)\times P(D)=0{,}5\times0{,}6=0{,}3$ mais $P(F\cap D)=\dfrac{70}{200}=0{,}35$.

✅ $0{,}3\neq0{,}35$ : être une fille et être demi-pensionnaire ne sont pas indépendants dans ce lycée.

QUESTION FLASH

Lire un tableau

D’après le tableau ($F\cap D=70$, $F\cap E=30$, $G\cap D=50$, $G\cap E=50$), que vaut $P_G(D)$ ?

On se place dans la ligne $G$ ($100$ élèves) : $P_G(D)=\dfrac{50}{100}=0{,}5$. ($0{,}417=\dfrac{50}{120}$ serait $P_D(G)$.)

QUESTION FLASH

Probabilité totale

$P(A)=0{,}4$, $P_A(B)=0{,}5$ et $P_{\overline A}(B)=0{,}2$. Que vaut $P(B)$ ?

$P(B)=0{,}4\times0{,}5+0{,}6\times0{,}2=0{,}2+0{,}12=0{,}32$.

DÉFI

Une probabilité conditionnelle

Avec le même tableau, calculer $P_F(E)$ (probabilité d’être externe sachant que c’est une fille).

💡 Ligne $F$ : $30$ externes sur $100$ filles.

$P_F(E)=\dfrac{30}{100}=0{,}3$.

DÉFI

Un arbre

Il pleut avec la probabilité $0{,}4$. S’il pleut, retard avec la probabilité $0{,}5$ ; sinon $0{,}1$. Calculer $P(\text{retard})$ (écrire un décimal).

💡 Additionnez les deux chemins : pluie et retard, pas de pluie et retard.

$0{,}4\times0{,}5+0{,}6\times0{,}1=0{,}2+0{,}06=0{,}26$.

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