ENS. SCIENTIFIQUE
Évolution linéaire continue
Quand une grandeur varie à vitesse constante à chaque instant : les fonctions affines.
NOTION
Une évolution linéaire continue
La grandeur est définie à tout instant $x$ d’un intervalle, pas seulement à des étapes régulières.
L’évolution est linéaire si la variation est proportionnelle à la durée : c’est une fonction affine.
$f(x)=mx+p$
Exemple : un réservoir de $60$ L se vide de $3$ L par minute : $V(t)=60-3t$.
ANIMATION
Faites varier $m$ et $p$
$m$ est la vitesse de variation, $p$ la valeur de départ ($x=0$).
À RETENIR
Variations proportionnelles à la durée
$f(x+h)-f(x)=m\,h$
La variation de $f$ ne dépend que de la durée $h$, pas de l’instant de départ.
Avec $m=2$ : quand $x$ passe de $3$ à $7$ ($h=4$), $f$ augmente de $2\times4=8$.
💡 $m$ s’exprime dans l’unité de $f$ par unité de $x$ (L/min, °C/h, m/s…).
MÉTHODE
Déterminer une fonction affine
Connaissant $f(x_1)=y_1$ et $f(x_2)=y_2$ : $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, puis on trouve $p$.
Exemple : température $20\,^\circ$C à $t=0$ et $32\,^\circ$C à $t=4$ h : $m=\dfrac{32-20}{4}=3$.
$T(t)=20+3t$
LIEN
Du discret au continu
Si $f(x)=mx+p$, alors $u_n=f(n)$ est une suite arithmétique de raison $m$ et de premier terme $p$.
Les points $(n\,;u_n)$ sont sur la droite représentant $f$.
💡 La fonction prolonge la suite : elle donne aussi les valeurs entre deux étapes (interpolation).
MÉTHODE
Résoudre une équation ou une inéquation
Le réservoir est vide quand $V(t)=0$ : $60-3t=0\iff t=20$ min.
Il reste au moins $15$ L : $60-3t\ge15\iff-3t\ge-45\iff t\le15$.
⚠️ On divise par $-3$ : l’inégalité change de sens.
APPLICATION
Tarif d’un taxi
Prise en charge : $3$ € ; puis $1{,}20$ € par km : $f(x)=3+1{,}2\,x$ ($x$ en km).
Pour $15$ km : $f(15)=3+1{,}2\times15=21$ €.
💡 $p=3$ est le prix à $0$ km ; $m=1{,}2$ est le prix de chaque km supplémentaire.
QUESTION FLASH
Calculer une image
Soit $f(x)=-2x+7$. Que vaut $f(4)$ ?
$f(4)=-2\times4+7=-8+7=-1$.
QUESTION FLASH
Retrouver la fonction
Une fonction affine vérifie $f(0)=5$ et $f(4)=13$. Quelle est son expression ?
$p=f(0)=5$ et $m=\dfrac{13-5}{4}=2$ : $f(x)=2x+5$.
DÉFI
Retrouver $f(0)$
$f$ est affine avec $f(1)=4$ et $f(5)=12$. Calculer $f(0)$.
💡 $m=\dfrac{12-4}{5-1}$ puis $p=f(1)-m$.
$m=2$ et $f(0)=f(1)-m=4-2=2$.
DÉFI
Vidange du réservoir
Un réservoir de $60$ L se vide de $3$ L par minute. Au bout de combien de minutes est-il vide ?
💡 Résolvez $60-3t=0$.
$t=\dfrac{60}{3}=20$ minutes.
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