ENS. SCIENTIFIQUE
Évolution exponentielle continue
Quand une grandeur est multipliée par le même facteur à chaque unité de temps, à tout instant : la fonction exponentielle de base a.
NOTION
Du discret au continu
Une suite géométrique $u_n=C\,a^n$ n’est définie que pour les entiers $n$.
La fonction exponentielle de base $a$ ($a>0$) la prolonge à tout réel $x$ :
$f(x)=C\,a^x$
💡 $f(0)=C$ et $f(x+1)=a\times f(x)$ : à chaque unité, la grandeur est multipliée par $a$.
ANIMATION
Faites varier la base $a$
Les points jaunes sont les valeurs de la suite $C\,a^n$ ; la courbe les relie. Que change $a$ ?
À RETENIR
Sens de variation et allure
Si $a>1$ : $f$ est croissante (croissance exponentielle).
Si $0décroissante (décroissance exponentielle).
Dans tous les cas $f(x)>0$ (pour $C>0$) et la courbe passe par $(0\,;C)$.
💡 L’axe des abscisses est asymptote : la courbe s’en rapproche sans jamais le toucher.
RÈGLES
Règles de calcul sur les puissances
$a^{x+y}=a^x\times a^y\qquad a^{-x}=\dfrac1{a^x}\qquad(a^x)^y=a^{xy}$
$2^{x+3}=2^x\times2^3=8\times2^x$.
💡 Ajouter $1$ à $x$ multiplie par $a$ ; ajouter $3$ multiplie par $a^3$.
MÉTHODE
Résoudre $1{,}5^x=10$
En ES, on résout graphiquement ou par balayage à la calculatrice (tableau de valeurs).
$1{,}5^5\approx7{,}6<10$ et $1{,}5^6\approx11{,}4>10$ : la solution est entre $5$ et $6$.
On affine : $1{,}5^{5{,}6}\approx9{,}7<10$ et $1{,}5^{5{,}7}\approx10{,}1>10$ : $5{,}6
APPLICATION
Croissance de bactéries
Une culture contient $500$ bactéries et double chaque heure : $N(t)=500\times2^t$ ($t$ en heures).
Après $3$ h : $N(3)=500\times2^3=4000$.
$N(t)=8000\iff2^t=16\iff t=4$ h.
💡 Le temps de doublement ($1$ h ici) ne dépend pas de la valeur de départ.
APPLICATION
Décroissance et demi-vie
Une substance a une demi-vie : elle perd la moitié de sa quantité à chaque période. Avec $t$ en nombre de demi-vies : $f(t)=C\times\left(\dfrac12\right)^t$.
$80$ mg, après $3$ demi-vies : $80\times\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac{80}8=10$ mg.
💡 Base $a=\dfrac12<1$ : la fonction est décroissante.
QUESTION FLASH
Calculer une image
Soit $f(x)=3\times2^x$. Que vaut $f(3)$ ?
$f(3)=3\times2^3=3\times8=24$. Attention : seul $2$ est élevé à la puissance $3$, pas le produit $3\times2$.
QUESTION FLASH
Sens de variation
La fonction $f(x)=0{,}5^x$ est :
La base $a=0{,}5$ vérifie $0décroissante.
DÉFI
Une population
$N(t)=500\times2^t$ ($t$ en heures). Que vaut $N(5)$ ?
💡 $2^5=32$.
$N(5)=500\times32=16\,000$.
DÉFI
Résoudre $2^x=32$
Quelle est la solution de l’équation $2^x=32$ ?
💡 Calculez $2,4,8,16,32$ : combien de multiplications par $2$ ?
$2^5=32$, donc $x=5$.
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