TERMINALE SPÉ
Équations différentielles
Les équations y′ = ay et y′ = ay + b, la condition initiale, et des modèles : refroidissement et désintégration.
NOTION
Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$, et qui relie $y$ à sa dérivée $y^{\prime}$.
$y^{\prime}=ay+b$
Une solution est une fonction dérivable $y$ qui vérifie l’égalité pour tout $x$ d’un intervalle.
💡 Ici on ne cherche plus un nombre $x$ mais toute une fonction : il y aura donc une famille de solutions.
THÉORÈME
L’équation $y^{\prime}=ay$
Soit $a$ un réel. Les solutions de $y^{\prime}=ay$ sont les fonctions :
$x\mapsto C\,e^{ax}\quad(C\in\mathbb R)$
Elles conviennent : $(Ce^{ax})^{\prime}=aCe^{ax}=a\,(Ce^{ax})$.
Ce sont les seules : si $y$ est solution, $g(x)=y(x)e^{-ax}$ vérifie $g^{\prime}=y^{\prime}e^{-ax}-ay\,e^{-ax}=0$, donc $g$ est constante.
💡 Condition initiale $y(x_0)=y_0$ : elle fixe $C$, donc il y a une unique solution.
ANIMATION
Champ de pentes de $y^{\prime}=ay+b$
Chaque petit trait donne la pente d’une solution en ce point. La courbe suit les traits.
THÉORÈME
L’équation $y^{\prime}=ay+b$ ($a\neq0$)
La fonction constante $y_p=-\dfrac ba$ est une solution particulière : $y_p^{\prime}=0$ et $ay_p+b=0$.
Si $y$ est solution, $z=y+\dfrac ba$ vérifie $z^{\prime}=y^{\prime}=ay+b=az$ : donc $z=Ce^{ax}$.
$y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac ba$
💡 Même idée que la suite auxiliaire $v_n=u_n-\ell$ pour $u_{n+1}=au_n+b$.
EXEMPLE
Résoudre avec une condition initiale
Résoudre $y^{\prime}=2y+6$ avec $y(0)=1$.
$a=2$, $b=6$ : solution particulière $-\dfrac ba=-3$. Solutions : $y(x)=Ce^{2x}-3$.
$y(0)=C-3=1$, donc $C=4$.
$y(x)=4e^{2x}-3$
✅ Vérification : $y^{\prime}=8e^{2x}$ et $2y+6=8e^{2x}-6+6=8e^{2x}$.
À RETENIR
Comportement des solutions
$a<0$ : $e^{ax}\to0$ donc $y(x)\to-\dfrac ba$. La droite $y=-\dfrac ba$ est une asymptote horizontale : l’équilibre est stable.
$a>0$ : $e^{ax}\to+\infty$ donc $y$ s’éloigne de l’équilibre, vers $\pm\infty$ selon le signe de $C$. L’équilibre est instable.
⚠️ Si $a=0$, l’équation est $y^{\prime}=b$ : les solutions sont les droites $y=bx+C$.
COMPLÉMENT
L’équation $y^{\prime}=ay+f(x)$
Si on connaît une solution particulière $y_p$ de $y^{\prime}=ay+f$, les solutions sont :
$y(x)=C\,e^{ax}+y_p(x)$
Exemple : $y^{\prime}=2y+x$. Vérifions que $y_p(x)=-\dfrac x2-\dfrac14$ convient : $y_p^{\prime}=-\dfrac12$ et $2y_p+x=-x-\dfrac12+x=-\dfrac12$ ✓.
$y(x)=C\,e^{2x}-\dfrac x2-\dfrac14$
MODÈLE
Le refroidissement de Newton
Un objet à $90\,^\circ$C est placé dans une pièce à $20\,^\circ$C. Sa vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart de température : $T^{\prime}=-k\,(T-20)$, avec $k>0$.
$T^{\prime}=-kT+20k$ : $a=-k$, $b=20k$, donc $-\dfrac ba=20$ et $T(t)=Ce^{-kt}+20$.
$T(0)=90$ donne $C=70$ : $T(t)=20+70\,e^{-kt}$.
💡 Comme $-k<0$, $T(t)\to20$ : l’objet tend vers la température de la pièce.
SIMULATION
Refroidissement : $T(t)=T_e+(T_0-T_e)e^{-kt}$
Modifiez $k$, la température extérieure $T_e$ et la température initiale $T_0$.
MODÈLE
Désintégration radioactive et demi-vie
Le nombre de noyaux vérifie $N^{\prime}=-\lambda N$ ($\lambda>0$) : $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$.
Demi-vie $t_{1/2}$ : $N_0e^{-\lambda t_{1/2}}=\dfrac{N_0}2\iff e^{-\lambda t_{1/2}}=\dfrac12$.
$t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$
💡 La demi-vie ne dépend pas de $N_0$ : toutes les $t_{1/2}$ unités de temps, le nombre de noyaux est divisé par $2$.
QUESTION FLASH
Solutions de $y^{\prime}=3y$
Quelles sont les solutions de l’équation $y^{\prime}=3y$ ?
Pour $y^{\prime}=ay$, les solutions sont $Ce^{ax}$ avec ici $a=3$. Vérification : $(Ce^{3x})^{\prime}=3Ce^{3x}$.
QUESTION FLASH
Solution constante
Quelle est la solution constante de $y^{\prime}=-2y+6$ ?
Une constante a une dérivée nulle : $0=-2y+6\iff y=3$ ($=-\frac ba$). Les solutions sont $Ce^{-2x}+3$.
QUESTION FLASH
Limite d’une solution
Pour $a<0$ et $b\neq0$, que devient $y(x)=Ce^{ax}-\dfrac ba$ quand $x\to+\infty$ ?
Comme $a<0$, $e^{ax}\to0$ pour tout $C$ : la limite est $-\dfrac ba$, quelle que soit la condition initiale.
DÉFI
Déterminer la constante
Soit $y^{\prime}=2y+6$ avec $y(0)=1$. Écrire la solution sous la forme $y(x)=Ce^{2x}-3$ : que vaut $C$ ?
💡 Écrivez $y(0)=C\,e^{0}-3=1$.
$y(0)=C-3=1$, donc $C=4$.
DÉFI
Limite en $+\infty$
Soit $y$ la solution de $y^{\prime}=-2y+10$ vérifiant $y(0)=0$. Quelle est la limite de $y(x)$ quand $x\to+\infty$ ?
💡 Avec $a=-2<0$, la limite est $-\dfrac ba$.
$a=-2<0$ donc $y(x)\to-\dfrac ba=-\dfrac{10}{-2}=5$ (et $y(x)=5-5e^{-2x}$).
✓
Chapitre terminé
Vous avez revu les équations y′ = ay et y′ = ay + b, la condition initiale, le refroidissement de Newton et la demi-vie.
Score : 0 / 0
📊 Mon bilan ⚡ Réviser ce chapitre ← Tous les chapitres Accueil MathsMDE