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Révision : Équations différentielles

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RÉVISION · Équations différentielles

Limite en $+\infty$

Soit $y$ la solution de $y^{\prime}=-2y+10$ vérifiant $y(0)=0$. Quelle est la limite de $y(x)$ quand $x\to+\infty$ ?

💡 Avec $a=-2<0$, la limite est $-\dfrac ba$.

$a=-2<0$ donc $y(x)\to-\dfrac ba=-\dfrac{10}{-2}=5$ (et $y(x)=5-5e^{-2x}$).

RÉVISION · Équations différentielles

Quelles sont les solutions de l’équation $y^{\prime}=3y$ ?

Pour $y^{\prime}=ay$, les solutions sont $Ce^{ax}$ avec ici $a=3$. Vérification : $(Ce^{3x})^{\prime}=3Ce^{3x}$.

RÉVISION · Équations différentielles

Quelle est la solution constante de $y^{\prime}=-2y+6$ ?

Une constante a une dérivée nulle : $0=-2y+6\iff y=3$ ($=-\frac ba$). Les solutions sont $Ce^{-2x}+3$.

RÉVISION · Équations différentielles

Soit $y^{\prime}=2y+6$ avec $y(0)=1$. Écrire la solution sous la forme $y(x)=Ce^{2x}-3$ : que vaut $C$ ?

💡 Écrivez $y(0)=C\,e^{0}-3=1$.

$y(0)=C-3=1$, donc $C=4$.

RÉVISION · Équations différentielles

Pour $a<0$ et $b\neq0$, que devient $y(x)=Ce^{ax}-\dfrac ba$ quand $x\to+\infty$ ?

Comme $a<0$, $e^{ax}\to0$ pour tout $C$ : la limite est $-\dfrac ba$, quelle que soit la condition initiale.

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