TERMINALE SPÉ
Dérivation et convexité
Nombre dérivé, tangente, dérivée d’une composée, dérivée seconde, convexité et points d’inflexion.
NOTION
Nombre dérivé et tangente
$f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement a une limite finie quand $h\to0$ :
$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
Géométriquement, $f^{\prime}(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $A(a\,;f(a))$ :
$y=f^{\prime}(a)\,(x-a)+f(a)$
ANIMATION
De la sécante à la tangente
Pour $f(x)=x^3-3x$, faites diminuer $h$ : la sécante tend vers la tangente.
RAPPELS
Dérivées usuelles et opérations
$(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\quad\left(\dfrac1x\right)^{\prime}=-\dfrac1{x^2}\quad(\sqrt x)^{\prime}=\dfrac1{2\sqrt x}$
$(e^x)^{\prime}=e^x\qquad(\ln x)^{\prime}=\dfrac1x$
$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\qquad\left(\dfrac uv\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}$
À RETENIR
Dérivée d’une fonction composée
$(e^{u})^{\prime}=u^{\prime}\,e^{u}$
$(\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\quad(u>0)$
$(u^n)^{\prime}=n\,u^{\prime}\,u^{n-1}\qquad(\sqrt u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt u}$
💡 Cas particulier : $\big(g(ax+b)\big)^{\prime}=a\,g^{\prime}(ax+b)$.
EXEMPLES
Trois dérivées de composées
$f(x)=e^{x^2+1}$ : $u=x^2+1$, $u^{\prime}=2x$, donc $f^{\prime}(x)=2x\,e^{x^2+1}$.
$g(x)=\ln(x^2+1)$ : $g^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
$h(x)=(3x-1)^4$ : $h^{\prime}(x)=4\times3\times(3x-1)^3=12(3x-1)^3$.
NOTION
Convexité
$f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Elle est concave si elle est au-dessous.
$f$ convexe $\iff f^{\prime}$ croissante $\iff f^{\prime\prime}\ge0$
$f$ concave $\iff f^{\prime}$ décroissante $\iff f^{\prime\prime}\le0$
💡 Convexe : la courbe « se creuse vers le haut » (comme $x^2$). Concave : « vers le bas ».
ANIMATION
La tangente se déplace sur $f(x)=x^3-3x$
Déplacez le point de tangence : la courbe est-elle au-dessus ou au-dessous de la tangente ?
NOTION
Point d’inflexion
Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : elle y change de convexité.
$f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe $\iff$ point d’inflexion
⚠️ $f^{\prime\prime}(a)=0$ ne suffit pas : $x\mapsto x^4$ a $f^{\prime\prime}(0)=0$ mais reste convexe, sans inflexion.
EXEMPLE
Étudier la convexité de $f(x)=xe^x$
$f^{\prime}(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$
$f^{\prime\prime}(x)=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x$
Comme $e^x>0$, $f^{\prime\prime}(x)$ a le signe de $x+2$ : négatif sur $]-\infty\,;-2[$, positif sur $]-2\,;+\infty[$.
$f$ concave sur $]-\infty\,;-2]$, convexe sur $[-2\,;+\infty[$, inflexion en $x=-2$
APPLICATION
Inégalités de convexité
La fonction exp est convexe ($\exp^{\prime\prime}=\exp>0$) : sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$, d’équation $y=x+1$.
$e^x\ge x+1\quad\text{pour tout }x\in\mathbb R$
La fonction $\ln$ est concave ($\ln^{\prime\prime}(x)=-\dfrac1{x^2}<0$) : sa courbe est au-dessous de sa tangente en $1$, d’équation $y=x-1$.
$\ln x\le x-1\quad\text{pour tout }x>0$
QUESTION FLASH
Dérivée d’un logarithme
Quelle est la dérivée de $f(x)=\ln(x^2+1)$ ?
$(\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}$ avec $u=x^2+1$ et $u^{\prime}=2x$.
QUESTION FLASH
Signe de la dérivée seconde
Si $f^{\prime\prime}(x)<0$ sur un intervalle $I$, que peut-on dire de $f$ sur $I$ ?
$f^{\prime\prime}<0$ signifie que $f^{\prime}$ est décroissante, donc que $f$ est concave. (Cela ne dit rien du sens de variation de $f$.)
QUESTION FLASH
Point d’inflexion
On a $f^{\prime\prime}(x)=6x-12$. Y a-t-il un point d’inflexion en $x=2$ ?
$6x-12$ est négatif avant $2$, positif après : $f^{\prime\prime}$ s’annule et change de signe, c’est un point d’inflexion. Annuler $f^{\prime\prime}$ seul ne suffirait pas.
DÉFI
Un nombre dérivé
Soit $f(x)=(2x+1)^3$. Calculer $f^{\prime}(1)$.
💡 Utilisez $(u^n)^{\prime}=n\,u^{\prime}\,u^{n-1}$ avec $u=2x+1$.
$f^{\prime}(x)=3\times2\times(2x+1)^2=6(2x+1)^2$, donc $f^{\prime}(1)=6\times9=54$.
DÉFI
Abscisse du point d’inflexion
La courbe de $f(x)=x^3-3x^2+2$ admet un point d’inflexion. Quelle est son abscisse ?
💡 Calculez $f^{\prime\prime}(x)$ et cherchez où elle s’annule en changeant de signe.
$f^{\prime}(x)=3x^2-6x$ et $f^{\prime\prime}(x)=6x-6$, qui s’annule en changeant de signe en $x=1$.
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Chapitre terminé
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