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Révision : Dérivation et convexité
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RÉVISION · Dérivation et convexité
Abscisse du point d’inflexion
La courbe de $f(x)=x^3-3x^2+2$ admet un point d’inflexion. Quelle est son abscisse ?
💡 Calculez $f^{\prime\prime}(x)$ et cherchez où elle s’annule en changeant de signe.
$f^{\prime}(x)=3x^2-6x$ et $f^{\prime\prime}(x)=6x-6$, qui s’annule en changeant de signe en $x=1$.
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Point d’inflexion
On a $f^{\prime\prime}(x)=6x-12$. Y a-t-il un point d’inflexion en $x=2$ ?
$6x-12$ est négatif avant $2$, positif après : $f^{\prime\prime}$ s’annule et change de signe, c’est un point d’inflexion. Annuler $f^{\prime\prime}$ seul ne suffirait pas.
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Un nombre dérivé
Soit $f(x)=(2x+1)^3$. Calculer $f^{\prime}(1)$.
💡 Utilisez $(u^n)^{\prime}=n\,u^{\prime}\,u^{n-1}$ avec $u=2x+1$.
$f^{\prime}(x)=3\times2\times(2x+1)^2=6(2x+1)^2$, donc $f^{\prime}(1)=6\times9=54$.
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Dérivée d’un logarithme
Quelle est la dérivée de $f(x)=\ln(x^2+1)$ ?
$(\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}$ avec $u=x^2+1$ et $u^{\prime}=2x$.
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Signe de la dérivée seconde
Si $f^{\prime\prime}(x)<0$ sur un intervalle $I$, que peut-on dire de $f$ sur $I$ ?
$f^{\prime\prime}<0$ signifie que $f^{\prime}$ est décroissante, donc que $f$ est concave. (Cela ne dit rien du sens de variation de $f$.)
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