Fonction linéaire

&

Fonction affine

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Fonction linéaire



Définition


Soit $a$ un nombre quelconque fixé. On appelle fonction linéaire de coefficient "$a$" la fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $ax$.
On la note $ f : x\longmapsto ax$; on a donc $f(x)=ax$.


Exemples


La fonction $ f : x\longmapsto 2x$ est une fonction linéaire de coefficient $2$.
La fonction $ f : x\longmapsto -3x+2$ n'est pas une fonction linéaire.
La fonction $ f : x\longmapsto 5x^2$ n'est pas une fonction linéaire.
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Exercice

Question 1 :
La fonction $ f : x\longmapsto 2x^2$ est une fonction linéaire.
Oui Non

Question 2 :
La fonction $ f : x\longmapsto 4x$ est une fonction linéaire.
Oui Non

Question 3 :
La fonction $ f : x\longmapsto \frac{4x}{5}$ est une fonction linéaire
Vrai Faux

Question 4 :
La fonction $ f : x\longmapsto -2x$ est une fonction linéaire
Vrai Faux

Question 5 :
La fonction $ f : x\longmapsto 2x+7$ est une fonction linéaire
Vrai Faux

Question 6 :
La fonction $ f : x\longmapsto 2x^2-x$ est une fonction linéaire
Oui Non

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Propriété


Le tableau de valeurs d'une fonction linéaire $ f : x\longmapsto ax$ est un tableau de proportionnalité car on obtient $f(x)$ en multipliant $x$ par le nombre $a$, qui est donc le coefficient de proportionnalité.

Exemple


Considère la fonction linéaire $f$ définie par : $$f(x)=2,5x.$$ Compléter le tableau de valeurs suivant:
$x$ 2 4 7
$f(x)$ 17,5

est le coefficient de proportionnalité.
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Propriété


Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient « $a$ » est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées $( 1 ; a )$.
On dit que cette droite a pour équation $y=ax$.
Le nombre «$a$ » est appelé coefficient directeur de la droite.

Exemple


Dans un repère du plan, la représentation graphique de la fonction linéaire $f$ de coefficient « $2,5$ » est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées ( ; ).
Le nombre « )» est appelé coefficient directeur de la droite.
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Activité principale 👆

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Utiliser l'activité principale. Commencer par mettre b = 0, puis associer le coefficient directeur "$a$" à la représentation graphique adéquate.
$a\leq-1$
$-1\leq a \leq 0$
$0\leq a\leq1$
$a>1$

$a\leq-1$
$-1\leq a \leq 0$
$0\leq a\leq1$
$a>1$
$a\leq-1$
$-1\leq a \leq 0$
$0\leq a\leq1$
$a>1$
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Comment déterminer le coefficient directeur "$a$" d'une fonction linéaire, algébriquement?

Exemples


$f$ est une fonction linéaire telle que $f(2)=3$.
On sait qu'une fonction linéaire peut s'écrire sous la forme $f(x)=ax$.
Ainsi, $f(2)=a \times 2=3$.
Donc, $a=\frac{f(2)}{2}=\frac{3}{2}.$
Par conséquent, $f(x)=\frac{3}{2}x.$

$g$ est une fonction linéaire telle que $g(3)=6$.
On sait qu'une fonction linéaire peut s'écrire sous la forme $g(x)=ax$.
Ainsi, $g(3)=a \times 3=6$.
Donc, $a=\frac{g(3)}{3}=\frac{6}{3}=2.$
Par conséquent, $g(x)=2x.$
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Exercice


Déterminer le coefficient directeur $a$ de la fonction linéaire.

$f$ est une fonction linéaire telle que $f(2)=4$, donc:

$a$=


$g$ est une fonction linéaire telle que $g(2)=9$, donc:

$a$ =


$h$ est une fonction linéaire telle que $h(3)=12$, donc:

$a$ =


$K$ est une fonction linéaire telle que $K(2,5)=5$, donc:

$a$ =


$L$ est une fonction linéaire telle que $L(5)=5$, donc:

$a$ =


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Comment déterminer le coefficient directeur "$a$" d'une fonction linéaire, graphiquement?

Exemple

$f$ est la fonction linéaire représentée par la droite ci-après,

Selon la représentation graphique $f(1)=2$. On sait qu'une fonction linéaire peut s'écrire sous la forme $f(x)=ax$.
Ainsi, $f(1)=a \times 1=2$.
Donc, $a=\frac{f(1)}{1}=\frac{2}{1}.$ Par conséquent, $f(x)=2x.$

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Exercice: Déterminer le coefficient directeur $a$ de la fonction linéaire.
$a=1$
$a=0,5$
$a=-0,5$
$a=-1$

$a=0,5$
$a=1$
$a=2$
$a=4$
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Exemples


Si $f(x) = 3x$ :
Pour trouver $x$ tel que $f(x) = 10$.
On résout l'équation, $3x = 10$
Donc, $x = \frac{10}{3}.$


Exercice: Calcul du nombre qui a pour image une valeur donnée par une fonction linéaire.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 11x.$



f( ) = 33


f( ) = -77


f( ) = 13



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Exercice:


Dans la figure ci-dessous, D1 est la représentation graphique d'une fonction linéaire f. D2 est la représentation graphique d'une fonction linéaire g.




f(2) =

f(3) =

f( ) = -1,5
g(- 2 ) =

g( 0 ) =

g( ) = -0,5
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Fonction affine



Définition


Soit $a$ et $b$ deux nombres fixés. On appelle fonction affine la fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre « $ax+b$ ».
On la note $f:x\longmapsto ax+b$; on a donc $f(x)=ax+b$.

Exemples


$ f : x\longmapsto 2x+5 $ est une fonction affine.
$ f : x\longmapsto -3x+\frac{7}{2}$ est une fonction affine.
$ f : x\longmapsto -5x^2+11$ n'est pas une fonction affine.
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Remarques


Si $b=0$, on remarque qu'une fonction linéaire est une fonction affine puisqu'elle peut s'écrire $f:x\longmapsto ax+0$. La réciproque est fausse une fonction affine n'est pas toujours une fonction linéaire.
Si $a=0$, la fonction affine $f:x\longmapsto b$ est appelée fonction constante.

Propriété


La représentation graphique de la fonction affine $f:x\longmapsto ax+b$ est une droite. On dit que cette droite a pour équation $y=ax+b$.
Le nombre « $a$ » est appelé le coefficient directeur de la droite.
Le nombre « $b$ » est appelé l'ordonnée à l'origine.
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Exercice

Question 1 :
La fonction $ f : x\longmapsto 2x^2+1$ est une fonction affine.
Oui Non

Question 2 :
La fonction $ f : x\longmapsto 4x+3$ est une fonction affine.
Oui Non

Question 3 :
La fonction $ f : x\longmapsto \frac{4x}{5}+\frac{1}{11}$ est une fonction affine.
Vrai Faux

Question 4 :
La fonction $ f : x\longmapsto -2x+7$ est une fonction affine.
Vrai Faux

Question 5 :
La fonction $ f : x\longmapsto 2x$ est une fonction affine.
Vrai Faux

Question 6 :
La fonction $ f : x\longmapsto 2x^2-x$ est une fonction affine.
Oui Non

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Exemple

Pour construire la représentation graphique de la fonction affine $f:x\longmapsto 3x-2$, on doit tracer la droite d'équation $y=3x-2$.
1. On place le point $(0 ;-2)$; l'ordonnée à l'origine.
2. On cherche un deuxième point dont les coordonnées vérifient l'équation de la droite. On calcule par exemple : $f(4)=3\times 4 -2=10$.
3. On place le point de coordonnées $( 4 ; 10 )$.
4. On trace la droite qui passe par ces deux points.

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Exercice

Utiliser l'activité principale, page 6. Associer le coefficient directeur "$a$" à la représentation graphique adéquate.
$a\leq 0$
$a>0$

$a\leq 0$
$a>0$
$a\leq 0$
$a>0$
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Comment déterminer le coefficient directeur "$a$" d'une fonction affine, algébriquement?

Propriété


Soit une fonction affine $f:x\longmapsto ax+b$, alors pour tous nombres $x_1$ et $x_2$, on a : $$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=a.$$

Exemple

Déterminer le coefficient directeur de la fonction affine $f$ sachant que $f(1)= 4$ et $f(-2)= -14.$
Le coefficient directeur $a$ est donné par: $$a= \frac{f(1)-f(-2)}{1-(-2)} =\frac{4-(-14)}{1-(-2)}=\frac{18}{3}=6.$$
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Exercice

Déterminer le coefficient directeur $a$ de la fonction affine.

$f$ est une fonction affine vérifiant $f(1)=2$ et $f(2)=4$, donc:

$a$=


$g$ est une fonction affine vérifiant $g(2)=2$ et $g(0)=4$, donc:

$a$ =


$h$ est une fonction affine vérifiant $h(0)=3$ et $h(3)=9$, donc:

$a$ =


$K$ est une fonction affine vérifiant $K(-2)=2$ et $K(0)=8$, donc:

$a$ =


$L$ est une fonction affine vérifiant $L(0)=0$ et $L(2)=10$, donc:

$a$ =


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Exemple


Déterminer la fonction affine $f$ sachant que $f(1)= 4$ et $f(-2)= -14.$

On commence par déterminer le coefficient directeur $a$:
$$a= \frac{f(1)-f(-2)}{1-(-2)} =\frac{4-(-14)}{1-(-2)}=\frac{18}{3}=6.$$ Ainsi, $f(x)=6x+b$.

Déterminons à présent l'ordonnée à l'origine b.

On a: $ f(1)=6\times 1+b=4$. Donc: $6+b=4$.
Autrement dit, $b=4-6=-2.$
Par conséquent : $f(x)=6x-2.$
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Exercice

Déterminer le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction affine.

$f$ est une fonction affine vérifiant $f(1)=2$ et $f(2)=4$, donc:

$a=2$ et $b$ =


$g$ est une fonction affine vérifiant $g(2)=2$ et $g(0)=4$, donc:

$a=-1$ et $b$ =


$h$ est une fonction affine vérifiant $h(0)=3$ et $h(3)=9$, donc:

$a=3$ et $b$ =


$K$ est une fonction affine vérifiant $K(-2)=2$ et $K(0)=8$, donc:

$a=3$ et $b$ =


$L$ est une fonction affine vérifiant $L(0)=0$ et $L(2)=10$, donc:

$a=5$ et $b$ =


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Comment déterminer le coefficient directeur "$a$" et l'ordonnée à l'origine $b$ d'une fonction affine, graphiquement?

Déterminer la fonction affine $f$ représentée par la droite suivante :
Selon cette courbe, on a
$f(1)=-2$ et $f(3)=4$.
Le coefficient directeur $a$ est donné par:
$$a= \frac{f(1)-f(3)}{1-3}.$$ Donc, $$a= \frac{-2-4}{1-3}=3.$$
Ainsi, $f(x)=3x+b.$ Or, $f(1)=3\times 1+b=-2$. Ce qui implique que, $b=-5$. Par conséquent, $f(x)=3x-5.$
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Exercice: Déterminer le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction affine.
$a=1$ et $b=1$
$a=1$ et $b=-1$
$a=-1$ et $b=-1$
$a=-1$ et $b=1$

$a=-2$ et $b=1$
$a=2$ et $b=3$
$a=2$ et $b=-4$
$a=2$ et $b=-4$
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Soit f la fonction définie par f(x) = 4x + 5

f( ) = 1

f( ) = -3

f( ) = -2


Si f(x) = 3x + 7 :
Pour trouver x tel que f(x) = 1.
On résout l'équation, 3x + 7 = 1.
Donc, 3x = -6.
Soit, x = -2.


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