• Théorème de Pythagore
  Théorème: Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.
  Autre formulation : Si ABC est un triangle rectangle en A alors, $BC^2= AB^2+AC^2$.
  
  Exemple 1: ABC est un triangle rectangle en A tel que $AB=5$ et $ AC=12$. Calculer BC.
  Le triangle étant rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, alors
  $ BC^2 = AB^2+ AC^2$
  $BC^2 = 5^2 +12^2$
  $ BC^2 = 25 + 144$
  $BC^2 = 169$.
  Donc, $ BC=13$, car $13\times13=169$.
  
  Exemple 2: ABC est un triangle rectangle en A tel que $ BC=5$ et $AB=3$. Calculer AC.
  Le triangle étant rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore,
  $ BC^2 = AB^2+ AC^2$
  $5^2 = 3^2 + AC^2$
  $25 = 9 + AC^2$
  $AC^2 = 25 -9$
  $ AC^2 =16$
  Donc, $AC=4$, car $4\times4=16$.
• La réciproque du théorème de Pythagore
  La réciproque du Théorème de Pythagore
  Si les côtés d'un triangle ABC vérifient la relation, $BC^2= AB^2+ AC^2$ alors le triangle ABC est rectangle en A.
  
  Exemple : Soit ABC un triangle tel que $AC=10$, $ AB=6$ et $ BC=8$. ABC est-il un triangle rectangle?
  
  Vérifions l'égalité : $AC^2=AB^2+ BC^2$.
  D'une part, $AC^2=10^2=100$.
  D'autre part, $AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$.
  L'égalité est vérifiée alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.
  
  
• Triangles semblables Définition
  Définition
  Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
  
  Exemple : Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles tels que : $\widehat{A} =\widehat{A}'$ et $\widehat{C} =\widehat{C'}$. Montrer que ces deux triangles sont semblables.
  
  
  
  On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
  Comme $\widehat{B}=180°-\widehat{A}-\widehat{C}$ et $\widehat{B'}=180°-\widehat{A'}-\widehat{C'}$, alors $\widehat{B}=\widehat{B'}$.
  Tous les angles sont deux à deux de même mesure, donc les triangles sont semblables.
• Triangles semblables Propriétés
  Propriété 1:
  Si deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés au angles égaux sont proportionnelles : $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k.$
  Si $k< 1$, alors $A'B'C'$ est une réduction de $ABC$ de rapport $k$.
  Si $k> 1$, alors $A'B'C'$ est un agrandissement de $ABC$ de rapport $k$.
  Propriété 2:
  Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.
  Exemple : $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables car : $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=4.$
  
  
• Propriété de Thalès
  Exemple 1 :

  Les droites $(FG)$ et $(EH)$ sont sécantes en $D$. Les droites $(FE)$ et $(GH)$ sont parallèles. D'après la propriété de Thalès, on a donc : $\frac{DF}{DG}=\frac{DE}{DH}=\frac{FE}{GH}.$

  
  Exemple 2 :

  	Les droites $(EJ)$ et $(FH)$ sont sécantes en $G$. Les droites $(EF)$ et $(HJ)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a donc : $\frac{GE}{GJ}=\frac{GF}{GH}=\frac{EF}{HJ}.$

• La réciproque de la propriété de Thalès
  Exemple 1 :

  Les droites $(PT)$ et $(SM)$ sont sécantes en $R$. Les points $R$, $T$, $P$ et $R$, $M$, $S$ sont alignés dans le même ordre. Si $\frac{RT}{RP}=\frac{RM}{RS},$ alors d'après la réciproque de la propriété de Thalès les droites $(TM)$ et $(PS)$ sont parallèles.

  
  Exemple 2 :

  	Les droites $(NL)$ et $(UP)$ sont sécantes en $G$. Les points $U$, $G$, $P$ et $L$, $G$, $N$ sont alignés dans le même ordre. Si $\frac{GN}{GL}=\frac{GP}{GU},$ alors d'après la réciproque de la propriété de Thalès les droites $(NP)$ et $(UL)$ sont parallèles.

• Trigonométrie
  Relations trigonométriques : SOH - CAH - TOA

  Dans un triangle rectangle, on a : $\sin(\alpha) =\frac{opposé}{hypoténuse}$ $\cos(\alpha) =\frac{adjacent}{hypoténuse}$ $\tan(\alpha) =\frac{opposé}{adjacent}$

  Exemple 1 : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=4~cm$ et $BC=8~cm$. Calculer $\widehat{ABC}$. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors : $cos (\widehat{ABC}) =\frac{BA}{BC}$ $cos (\widehat{ABC}) =\frac{4}{8}$ $cos (\widehat{ABC}) =0,5$ $\widehat{ABC}=cos^{-1}(0,5)$ $\widehat{ABC}=60°$.	Exemple 2 : $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $BC=9~cm$ et $ \widehat{ABC} =30$°. Calculer AB. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors : $cos (\widehat{ABC}) =\frac{BA}{BC}$ $ cos (30) =\frac{BA}{9}$ $BA =9 \times cos (30)$ $BA \approx 7,8 ~cm.$

• Transformations
  Rotation et translation

  Le motif 3 est l'image du motif 1 par la translation qui transforme A en C. Le motif 2 est l'image du motif 1 par la rotation de centre B et d'angle 90°, dans le sens horaire.

  
  Homothétie

  Exemple 1: La cocotte $\mathfrak{F}'$ est l'image de la cocotte $\mathfrak{F}$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ positif. <	Exemple 2: La cocotte $\mathfrak{F}'$ est l'image de la cocotte $\mathfrak{F}$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ négatif.

• Géométrie dans l'espace
  Volumes : h désigne la hauteur
  
  
  Pavé droit : $L \times l \times h$.
  
  Prisme droit : L'aire de la base $\times$ h.
  
  Cylindre de révolution : $\pi \times R^2 \times h$.
  
  Cône de révolution : $\frac{1}{3}\times \pi \times R^2 \times h$.
  
  Pyramide: $\frac{1}{3}\times$ l'aire de la base $ \times h$.
  
  Sphère : $\frac{4}{3}\times \pi \times R^3$.
  
  L'aire de la sphère :$4\times \pi \times R^2$.
  
  

• Nombres rationnels
  Propriétés: Soient $c$ et $d$ deux nombres relatifs non nuls.
  ${a\over c}\pm {b\over c}={a\pm b\over c}$;
  ${a\over c}\pm {b\over d}={a \times d\pm b \times c\over cd}$;
  ${a\over c}\times {b\over d}={ab\over cd}$;
  ${a\over c}\div {b\over d}={a\over c}\times {d\over b}$.
  
  Exemples:
  $\displaystyle{{-4\over7}+{-12\over 7}={-4+(-12)\over 7}={-16\over 7}}.$
  $\displaystyle{{-4\over3\mathstrut}+{5\over2}={-4\times2\over3\times 2}+{5\times3\over2\times3}= {-8\over6}+{15\over6}={-8+15\over6}={7\over6}}.$
  $\displaystyle{{4\over-3}\times{-7\over -12}={4\times(-7)\over-3\times(-12)}={-28\over36}}.$
  $\displaystyle{{-3\over-10}\div{-5\over 7}={-3\over-10}\times{7\over -5}={-21\mathstrut\over50}}.$
• Puissances

  Propriétés: Quels que soient les nombres entiers $m$ et $n$, $$10^m\times 10^n=10^{m+n};$$ $${10^m\over10^n}=10^{m-n};$$ $$\left(10^m\right)^n=10^{m\times n}.$$

  Exemples: $$10^{-4}\times10^{-2}= 10^{-4+(-2)}=10^{-6}.$$ $$\displaystyle{{10^3\over10^{3}}=10^{3-3}=10^{0}=1}.$$ $$\displaystyle{{10^4\times10^{-3}}=10^{4 \times (-3)}=10^{-12}}.$$ \begin{eqnarray*} \frac{2,5\times 10^3\times 2,7 \times 10^5}{4,5 \times 10^{-2}} & =& \frac{2,5\times 2,7 }{4,5 }\times \frac{ 10^3\times 10^5}{ 10^{-2}}\\ & =& 1,5 \times \frac{ 10^8}{ 10^{-2}}\\ & =& 1,5 \times 10^{10}.\\ \end{eqnarray*}

• Nombres premiers
  Définition :
  
  Un entier naturel est premier s'il n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
  
  Exemples :
  
  2, 3, 5, 7, 11 sont premiers.
  1 n'est pas premier.
  
  Propriété : Décomposition en produit de facteurs premiers.
  
  Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.
  
  Exemples :
  
  $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ou $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
  $728 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 13$ ou $728 = 2^3 \times 7 \times 13$.
  
  
• Probabilité
  Exemple:
  
  On considère l'expérience dans laquelle on tire un objet parmi les objets ci dessous. Tous les objets ont la même probabilité d'être tirés.
  
  On note les événements : A="Tirer un carré" et B="Tirer un objet avec un nombre pair". Calculer $p(\mathrm A)$ ; $p(\mathrm B)$ et $p(\hbox {A et B})$.
  $p(\mathrm A)=\dfrac{4}{8}=0,5$ (il y a 4 carrés parmi les 8 objets).
  $p(\mathrm B)=\dfrac{5}{8}=0,625$ (5 objets parmi les 8 ont un nombre pair).
  $p(\hbox {A et B})=\dfrac{2}{8}=0,25$ (2 objets parmi les 8 sont des carrés avec un nombre pair).
• Développement et Factorisation
  Propriété 1: $a$, $b$ et $ k$ désignent trois nombres.
  $$k \times ( a + b ) = k \times a + k \times b.$$ $$k \times ( a - b ) = k \times a - k \times b.$$ Exemples :
  
  $I = - 2 ( x + 7 ) = -2x -14.$
  $J = - 4 ( y - 3 ) = -4y + 12.$
  
  Propriété 2 : $a$, $b$, $c$ et $ d$ désignent quatre nombres.
  $$( a + b ) ( c + d ) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d .$$ Exemple :
  $L= (x - 4) ( 2x+5 )$
  $L = x \times 2x+ x \times 5 - 4 \times 2x -4 \times 5$
  $L = 2x^2+ 5x - 8x -20$
  $L = 2x^2- 3x -20$.
• Identités remarquables
  Propriétés: Quels que soient les nombres $a$ et $b$, on a :
  $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2;$$ $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$ Exemples: \begin{eqnarray*} (x+3)^2 & = & x^2+ 2\times x \times 3+3^2.\\ & = & x^2+ 6x+9. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (4-3x)^2 & = & 4^2- 2\times 4 \times 3x+{(3x)}^2.\\ & = & 16- 24x+9x^2. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (2x+3)(2x-3) & = & (2x)^2- {3}^2.\\ & = & 4x^2- 9. \end{eqnarray*}
• Résolution d'équation
  Exemple 1: Résoudre l'équation suivante : $14x - 13 = -5x +1$.
  Le but est de réunir la "famille des x" dans le membre de gauche et la "famille des nombres" dans le membre de droite.
  $4x -13+13 = -5x +1+13$
  On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13.
  $4x = -5x +14$
  On élimine -5x à droite en ajoutant dans chaque membre +5x.
  $9x = 14$
  On élimine 9 (qui est multiplié à $x$) à gauche en divisant chaque membre par 9: $\frac{9x}{9} = \frac{14}{9}$.
  La solution de cette équation est : $x=\frac{14}{9}$.
  
  Exemple 2: Résoudre l'équation $(4x + 6)(3 - 7x) = 0.$
  $~4x+ 6 = 0$ ou $~3 - 7x = 0$
  $4x = -6$ ou $-7x = -3$
  $x = \frac{-6}{4}$ ou $x = \frac{-3}{-7}$
  $x = \frac{-3}{2}$ ou $x = \frac{3}{7}$.
  Les deux solutions de l'équation sont : $x = \frac{-3}{2}$ et $x = \frac{3}{7}$.
  On peut noter aussi $S=\{ \frac{-3}{2};\frac{3}{7}\}$.
• Notion de fonction
  Définitions : Une fonction $f$ est un processus qui, à un nombre, fait correspondre un autre nombre en lui appliquant une suite d'opérations. On note : $f: x\longmapsto f(x).$
  On lit : la fonction $f$ qui à x associe $f(x)$.
  Si f est le nom de la fonction, au nombre $x$, elle fait correspondre son image qu'on note $f(x)$.
  On dit que $x$ est un antécédent de $f(x)$.
  
  Exemple 1: Soit $f$ la fonction qui à $x$ associe $f(x)=5x$.
  On a $f(5)=5\times 5=25.$
  On dit que 25 est l'image de 5.
  On dit que 5 est l'antécédent de 25.
  
  
  Exemple 2: On considère la fonction $g$ définie par : $g(x)= 3x-1$.
  Pour déterminer l'image de 2 par la fonction $g$ il suffit de remplacer $x$ par 2 : $g(2)= 3\times 2-1=5-1=5.$
  Pour déterminer l'antécédent de 5 par la fonction $g$ il suffit de résoudre l'équation : $3x-1=5$ donc $x=2$.
• Statistiques
  Exemple 1: Voici une série statistique représentant les notes d'un groupe d'élèves: 4 - 4 - 10 - 10 - 16 - 16 -16- 20 - 20.
  
  L'étendue de cette série est égale à 16. En effet, $20 - 4 = 16$.
  
  La moyenne de cette série est égale à environ 12,8. En effet, $$\frac{4\times 2 + 10 \times 2 + 16 \times 3 + 20 \times 2}{9}\approx 12,8.$$ L'effectif total est 9. Or, $\frac{9+1}{2}=5$. Ainsi la médaine est la 5 ème donnée dans l'ordre croissant, soit 16.
  
  Exemple 2: Voici une autre série statistique représentant les notes d'un groupe d'élèves: 4 - 4 - 10 - 10 - 16 -16- 20 - 20.
  
  L'étendue de cette série est égale à 16. En effet, $20 - 4 = 16$.
  
  La moyenne de cette série est égale à environ 11,1. En effet, $$\frac{4\times 2 + 10 \times 2 + 16 \times 2 + 20 \times 2}{9}\approx 11,1.$$ L'effectif total est 8. Or, $\frac{8}{2}=4$. Ainsi la médaine est la moyenne de la 4ème et la 5ème données dans l'ordre croissant, soit $\frac{10+16}{2}=13$.
  
  

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