ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O. Compléter par un vecteur égal.

a) $\overrightarrow{AB}=\cdots\cdots$
$\quad$
b) $\overrightarrow{BC}=\cdots\cdots$
$\quad$
c) $\overrightarrow{DO}=\cdots\cdots$
$\quad$
d) $\overrightarrow{OA}=\cdots\cdots$
$\quad$
e) $\overrightarrow{CD}=\cdots\cdots$
$\quad$

a) $\overrightarrow{AB}=$\overrightarrow{DC}$
$\quad$
b) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$
$\quad$
c) $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$
$\quad$
d) $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}$
$\quad$
e) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$
$\quad$

En utilisant le quadrillage, dire pour chaque égalité si elle est vraie ou fausse :

a) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}$
$\quad$
b) $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$
$\quad$
c) $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}$
$\quad$
d) $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{BD}$
$\quad$
e) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}$
$\quad$
f) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DC}$
$\quad$

a) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}$ : Vraie.
$\quad$
b) $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ : Vraie.
$\quad$
c) $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}$ : Fausse.
$\quad$
d) $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{BD}$ : Fausse.
$\quad$
e) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}$ : Vraie.
$\quad$
f) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DC}$ : Fausse.
$\quad$

Calculer les sommes vectorielles indiquées en utilisant la figure ci-contre :

$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AO}=\cdots\cdots$
$\quad$
$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{DF}=\cdots\cdots$
$\quad$
$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AO}=\cdots\cdots$
$\quad$
$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{FC}=\cdots\cdots$
$\quad$
$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AE}=\cdots\cdots$
$\quad$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\cdots\cdots$
$\quad$

$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$
$\quad$
$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}$
$\quad$
$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$
$\quad$
$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{OF}$
$\quad$
$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DC}$
$\quad$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
$\quad$

Simplifier au maximum l’écriture du vecteur
$$\vec{v}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{RB}$$

$\quad$

$$\begin{align*} \vec{v}&=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{RB} \\
&=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{BR} \\
&=\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BR}+\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{CA} \\
&=\overrightarrow{SA} \quad \text{(Relation de Chasles)}\end{align*}$$

$\quad$

Simplifier au maximum l’écriture des vecteurs suivants.

$$\begin{align*} \vec{u}&=\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{SU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UH} \\
\vec{v}&=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}\end{align*}$$

$\quad$

$$\begin{align*}
\vec{u}&=\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{SU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UH} \\
&=\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{SU}+\overrightarrow{UH}=\overrightarrow{HF}\\
&=\overrightarrow{RF} \quad \text{(Relation de Chasles)}\\
\\
\vec{v}&=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}\\
&=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AB}\quad \left(\text{ car } -\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO}\right)\\
&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}\\
&=\overrightarrow{AC} \quad \text{(Relation de Chasles)}
\end{align*}$$

$\quad$

Soient $[AC]$ et $[BD]$ deux diamètres d’un cercle $\mathscr{C}$.

Démontrer que $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

$\quad$

$[AC]$ et $[BD]$ sont donc les diagonales du quadrilatère $ABCD$.
Puisque ce sont des diamètres du cercle $\mathscr{C}$, ces diagonales se coupent en leur milieu.
Par conséquent $ABCD$ est un parallélogramme (les diamètres ayant la même longueur, on peut ajouter que c’est un rectangle).

D’après la règle du parallélogramme $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

$\quad$

Soit $I$ le milieu d’un segment $[AB]$ et $M$ un point n’appartenant pas à la droite $(AB)$.

1. Construire les points $C$ et $D$ tels que
   $$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IM}$$
   $\quad$

2. Quelle est la nature des quadrilatères $AIMC$ et $IBDM$?
   $\quad$

3. Démontrer que $M$ est le milieu de $[CD]$.
   $\quad$

4. Démontrer que $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BM}$.
   $\quad$

5. Soit $E$ le symétrique de $I$ par rapport à $M$.
   Démontrer que $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IE}$.
   $\quad$

1. On obtient la figure suivante :
   
   $\quad$

2. On a $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM}$. D’après la règle du parallélogramme, le quadrilatère $AIMC$ est un parallélogramme.
   On a $\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IM}$. D’après la règle du parallélogramme, le quadrilatère $IBDM$ est un parallélogramme.
   $\quad$

3. $AIMC$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AI}$.
   $IBDM$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MD}$
   $I$ est le milieu du segment $[AB]$ par conséquent $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.
   Ainsi $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MD}$ et $M$ est le milieu du segment $[CD]$.
   $\quad$

4. $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{IB}$ donc $IBMC$ est un parallélogramme et $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BM}$.
   $\quad$

5. $E$ est le symétrique de $I$ par rapport à $M$. Donc $M$ est le milieu du segment $[IE]$.
   D’après la question 3. $M$ est également le milieu du segment $[CD]$.
   Les diagonales du quadrilatère $IDEC$ se coupent donc en leur milieu. C’est par conséquent un parallélogramme et d’après la règle du parallélogramme on a $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IE}$.
   $\quad$

1. Construire un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$.
   On appelle $I$ le milieu de $[OC]$.
   $\quad$

2. Construire le symétrique $A’$ de $A$ par rapport à $D$ et le symétrique $O’$ de $O$ par rapport à $B$.
   $\quad$

3. a. Démontrer que $\overrightarrow{A’C}=\overrightarrow{DB}$.
   $\quad$
   b. Démontrer que $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OO’}$.
   $\quad$
   $\quad$
   c. En déduire que $I$ est le milieu de $[A’O’]$.
   $\quad$

On donne un parallélogramme $RSTV$ de centre $I$.

1. Placer le point $M$ tel que $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{RV}+\overrightarrow{IR}$.
   $\quad$

2. Placer le point $N$ tel que $SITN$ soit un parallélogramme.
   $\quad$

3. Montrer que $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{IV}$ et que $\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{NT}$.
   $\quad$

4. En déduire que $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{NT}$ puis la nature du quadrilatère $RMTN$.
   $\quad$

1. Voir figure
   $\quad$
2. On obtient la figure suivante :
   
   $\quad$

3. $RSTV$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{RV}=\overrightarrow{ST}$. $I$ est le centre du parallélogramme $RSTV$ donc $\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{IV}$.
   On a donc $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{RV}+\overrightarrow{IR}=\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{TI}=\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{IV}$.
   $SITN$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{NT}$.
   $\quad$

4. Ainsi $\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{IV}=\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{NT}$ et le quadrilatère $RMTN$ est un parallélogramme.
   $\quad$

Soient $O,A$ et $B$ trois points non alignés.

1. Construire $D$ tel que $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ et $C$ tel que $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}$.
   Montrer que $O$ est le milieu de $[CD]$.
   $\quad$

2. Construire $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.
   Montrer que $AEFB$ est un parallélogramme.
   $\quad$

1. $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CO}$
   Donc $O$ est le milieu de $[CD]$.
   $\quad$

2. $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$ D’après la règle du parallélogramme $OAEC$ est un parallélogramme et $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{OC}$.
   $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ D’après la règle du parallélogramme $OCFB$ est un parallélogramme et $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BF}$.
   Ainsi $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BF}$ et $AEFB$ est un parallélogramme.