On considère l’expression $A = (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1)$.

1. Développer et réduire $A$.
   $\quad$

2. Factoriser $A$.
   $\quad$

3. Résoudre $A=0$.
   $\quad$

4. Calculer $A$ pour $x=-1$.

$\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
   &= 9x^2+24x+16 – (-6x^2+3x-8x+4) \\\\
   &= 9x^2+24x+16+6x^2-3x+8x-4\\\\
   &=15x^2+29x+12
   \end{align}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
   & = (3x+4) \left[(3x+4) – (-2x+1)\right] \\\\
   &=(3x+4)(5x+3)
   \end{align}$
   $\quad$

3. On utilise l’expression factorisée pour résoudre l’équation $A=0$.
   $$(3x+4)(5x+3) = 0$$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $3x+4 = 0$ ou $5x+3=3$
   $ x = – \dfrac{4}{3}$ ou $x = – \dfrac{3}{5}$
   L’équation possède donc deux solutions : $- \dfrac{4}{3}$ et $- \dfrac{3}{5}$
   $\quad$

4. Si $x=-1$ en utilisant l’expression factorisée on obtient :
   $$A=(3\times (-1) + 4)(5 \times (-1) + 3) = -2$$

$\begin{align} B &= 4\sqrt{48} + 2\sqrt{27} – 3\sqrt{75} \\\\
&=4\sqrt{16 \times 3} + 2\sqrt{9 \times 3} – 3\sqrt{25 \times 3}\\\\
&= 16\sqrt{3} + 6\sqrt{3} – 15\sqrt{3}\\\\
&= 7\sqrt{3}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} C&=-3\sqrt{98}-4\sqrt{18} \\\\
&=-3\sqrt{49 \times 2} – 4\sqrt{9 \times 2} \\\\
&=-21\sqrt{2} – 12\sqrt{2} \\\\
&=-33\sqrt{2}
\end{align}$

Calculer les fractions suivantes. Simplifier au maximum le résultat.

$$D = \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{6} \qquad E=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}} \qquad F=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}}$$

$\quad$

$\begin{align} D &= \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{6} \\\\
&= \dfrac{3}{5} – \dfrac{7}{15} \\\\
&=\dfrac{9}{15} – \dfrac{7}{15} \\\\
&=\dfrac{2}{15}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} E&=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}} \\\\
&= \dfrac{-\dfrac{21}{28}+\dfrac{20}{28}}{\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}} \\\\
&=\dfrac{-\dfrac{1}{28}}{\dfrac{17}{12}}\\\\
&=-\dfrac{1}{28} \times \dfrac{12}{17} \\\\
&=-\dfrac{3}{119}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} F&=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}}{\dfrac{6}{15}-\dfrac{20}{15}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{-\dfrac{14}{15}}\\\\
&=-\dfrac{2}{15} \times \dfrac{15}{14}\\\\
&=-\dfrac{1}{7}
\end{align}$

Ecrire sous la forme $a+b\sqrt{c}$ les nombres suivants :

$$G = \left(5-3\sqrt{7} \right)^2 \qquad H = \left(3+4\sqrt{2} \right)^2 \qquad I=\left(2+3\sqrt{7} \right) \left(5-4\sqrt{7}\right)$$

$\quad$

$\quad$

$\begin{align} G &= \left(5-3\sqrt{7} \right)^2 \\\\
&=25 – 30\sqrt{7} +9\times 7 \\\\
&=25-30\sqrt{7} + 63 \\\\
&=88 – 30\sqrt{7}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} H & = \left(3+4\sqrt{2} \right)^2 \\\\
&= 9 + 24\sqrt{2} + 16 \times 2 \\\\
&= 9 + 24\sqrt{2} + 32 \\\\
&=41+24\sqrt{2}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} I&=\left(2+3\sqrt{7} \right) \left(5-4\sqrt{7}\right)\\\\
&=10-8\sqrt{7}+15\sqrt{7}-12 \times 7 \\\\
&=10+7\sqrt{7}-84\\\\
&=-74+7\sqrt{7}
\end{align}$

On considère l’expression $J = (2 x -7)+4x^2-49$.

1. Factoriser $J$.
   $\quad$

2. Développer et réduire $J$.
   $\quad$

3. Résoudre $J=0$.
   $\quad$

4. Calculer $J$ pour $x=3$.

$\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49\\\\
   &=(2 x – 7)+ (2x)^2-7^2\\\\
   &=(2 x -7) \times 1+(2 x – 7)(2 x + 7) \\\\
   &=(2 x – 7)\left[1 + (2 x + 7) \right] \\\\
   &=(2 x – 7)(2 x + 8)
   \end{align}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49 \\\\
   &= 2 x – 7 + 4x^2 – 49 \\\\
   &=4x^2 + 2 x – 56
   \end{align}$
   $\quad$

3. Pour résoudre l’équation $J=0$ on va utiliser la forme factorisée:
   $$(2 x – 7)(2 x + 8) = 0$$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $2 x – 7 = 0$ ou $2 x + 8 = 0$
   $x=\dfrac{7}{2}$ ou $x = -4$
   $\quad$

4. Pour $x= 3$ on va utiliser l’expression développée :
   $$J = 4 \times 3^2 + 2 \times 3 – 56 = -14$$