Calculer les fractions suivantes. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles :

$A=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8} \qquad B = \dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right) \qquad C = \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}}$

$$\begin{align} A&=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8}\\\\
&= \dfrac{4}{3} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{32}{24} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{22}{24}\\\\
&=\dfrac{11}{12}
\end{align}$$

$\quad$

$$\begin{align} B&=\dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right)\\\\
&= \dfrac{5}{18} \times \dfrac{11}{15}\\\\
&=\dfrac{5 \times 11}{18 \times 3 \times 5}\\\\
&=\dfrac{11}{54}
\end{align}$$

$\quad$

$$\begin{align} C&= \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{3}{6}-\dfrac{4}{6}}{\dfrac{9}{6}-\dfrac{4}{6}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{7}{6}}{\dfrac{5}{6}}\\\\
&=-\dfrac{7}{6} \times \dfrac{6}{5} \\\\
&=-\dfrac{7}{5}
\end{align}$$

$$\begin{align} A &= \dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{7} \times \dfrac{8}{3}\\\\
&=\dfrac{2}{7} + \dfrac{8}{21}\\\\
&=\dfrac{6}{21}+\dfrac{8}{21}\\\\
&=\dfrac{14}{21}\\\\
&=\dfrac{2}{3}
\end{align}$$

$\quad$

$$\begin{align} B & = \left(\sqrt{3}-7\right)^2\\\\
&= \left(\sqrt{3}\right)^2 – 2\times \sqrt{3} \times 7 + 7^2\\\\
&= 3 – 14\sqrt{3} + 49\\\\
&=52-14\sqrt{3}
\end{align}$$

$\quad$

$$\begin{align} C &= \sqrt{50} + 2\sqrt{18}\\\\
&= \sqrt{25 \times 2} + 2\sqrt{9 \times 2}\\\\
&= 5\sqrt{2} + 2\times 3\sqrt{2}\\\\
&=5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\\\\
&=11\sqrt{2}
\end{align}$$

$\quad$

On considère l’expression $A = (2x -3)^2-(2x -3)(x-2)$.

1. Développer et réduire $A$.
   $\quad$

2. Factoriser $A$.
   $\quad$

3. Résoudre l’équation $A = 0$.
   $\quad$

4. Calculer $A$ pour $x=-2$.

$\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align} A&=(2x – 3)^2-(2x -3)(x-2) \\\\
   &= (2x)^2-2\times 3\times 2x + 3^2 – \left(2x^2-4x-3x+6\right)\\\\
   &=4x^2-12x+9-\left(2x^2-7x+6 \right)\\\\
   &=2x^2-5x+3
   \end{align}$
   $\quad$

2. $\quad$
   $\begin{align} A &= (2x -3) \left[ (2x -3) – (x-2) \right] \\\\
   &=(2x -3)(x-1)
   \end{align}$
   $\quad$

3. On utilise l’expression factorisée pour résoudre $A=0$.
   $$(2x -3)(x-1)=0$$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $2x -3=0 $ $\quad$ ou $\quad$ $x-1=0$
   soit $2x=3$ $\qquad \quad ~~$ ou $\quad$ $ x=1$
   $~~~~x=\dfrac{3}{2}$
   L’équation possède donc deux solutions : $1$ et $\dfrac{3}{2}$.
   $\quad$

4. On utilise, par exemple, l’expression développée :
   Si $x=-2$ alors $A = 2 \times (-2)^2 – 5\times (-2) + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$

1. Calculer $B = \left(4-2\sqrt{3} \right) \left(4+2\sqrt{3} \right)$.
   $\quad$

2. Écrire sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers les expressions
   $$C=\left(4-2\sqrt{3}\right)^2$$
   $$D=\dfrac{1}{4}\times \left(28 – 16\sqrt{3}\right)$$

$\quad$

$\quad$

1. $B = \left(4-2\sqrt{3} \right) \left(4+2\sqrt{3} \right)=4^2 – \left(2\sqrt{3} \right)^2 = 16 – 4 \times 3 = 4$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align} C &= \left(4-2\sqrt{3}\right)^2\\\\
   &= 4^2 – 2\times 4\times 2\sqrt{3} + \left(2\sqrt{3}\right)^2\\\\
   &=16 – 16\sqrt{3} +4\times 3\\\\
   &=28-16\sqrt{3}
   \end{align}$
   $\quad$
   $\begin{align}
   D&=\dfrac{1}{4}\times \left(28 – 16\sqrt{3}\right) \\\\
   &= \dfrac{28}{4} – \dfrac{16\sqrt{3}}{4} \\\\
   &= 7 – 4\sqrt{3}
   \end{align}$

Écrire sous la forme $a+b\sqrt{2}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers :

$$E = 5+6\sqrt{2}\left(3\sqrt{2} + 4 \right)$$
$$F= \left(7\sqrt{2}-4\right)^2$$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\begin{align}
E &=5+6\sqrt{2}\left(3\sqrt{2} + 4 \right)\\\\
&= 5 + 18 \times 2 + 24\sqrt{2}\\\\
&= 5 + 36 + 24\sqrt{2}\\\\
&=41+24\sqrt{2}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} F &= \left(7\sqrt{2}-4\right)^2 \\\\
&= 49 \times 2 – 2 \times 4 \times 7\sqrt{2} + 16\\\\
&= 98 – 56\sqrt{2} + 16\\\\
&=114 – 56\sqrt{2}
\end{align}$

On donne l’expression $A = (x-3)(x+3)-2(x-3)$.

1. Factoriser $A$.
   $\quad$

2. Développer et réduire $A$.
   $\quad$

3. En choisissant l’expression $A$ la plus adaptée parmi celles trouvées aux questions 1. et 2., déterminer la valeur de $A$ pour $x=-1$ et pour $x=0$.

$\quad$

$\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align} A &=(x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
   & = (x-3) \left[(x+3) – 2\right] \\\\
   &= (x-3)(x+1)
   \end{align}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align} A & = (x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
   &= x^2-3^2 – 2x + 6 \\\\
   &= x^2 – 9 – 2x + 6 \\\\
   &= x^2-2x – 3
   \end{align}$
   $\quad$
3. Pour $x=-1$, on choisit la forme factorisée.
   $A = (-1 – 3)(-1 + 1) = 0$
   $\quad$
   Pour $x=0$, on choisit la forme développée.
   $A = 0^2-2 \times 0 – 3 = -3$

Effectuer les calculs suivants. Chaque résultat sous la forme d’un entier.

$$A = \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}}$$

$$B = \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right)$$

$\quad$

$\begin{align} A &= \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}} \\\\
&= \dfrac{3,9 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} \\\\
& = \dfrac{3,9}{3} \times \dfrac{10^{-4}}{10^{-5}} \\\\
&= 1,3 \times 10 \\\\
&=13
\end{align}$

$\begin{align} F &= \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right) \\\\
&= \left(\dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{12}{15} – \dfrac{10}{15} \right) \\\\
&=\dfrac{8}{3} \div \dfrac{2}{15} \\\\
&=\dfrac{8}{3} \times \dfrac{15}{2} \\\\
&=20
\end{align}$