Vecteurs, droites et plans de l'espace
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1. Dans un cube ABCDEFGH, les droites (CD) et (EH) sont :



les droites (CD) et (EH) sont sécantes.
la droite (AB) et le plan (CFH) sont sécants.
les plans (CFH) et (ABD) sont sécants.
les droites (CD) et (EH) sont non coplanaires.


2. On considère un tétraèdre ABCD et le point I milieu du segment [AB]. On a alors,



$B \notin (CDI)$.
$(CI) \subset (ABC).$
$(DI) \not \subset (BCI).$
$D \in (ADI)$.


3. Dans un cube ABCDEFGH,



les plans (ABF) et (BCH) sont sécants selon (BE).
les plans (ABF) et (BCH) sont sécants selon (BC).
les plans (EFG) et (ABC) sont sécants selon (DF).
les plans (EFG) et (ABC) sont prallèles.


4. Pour déterminer une représentation paramétrique d’une droite :



il faut trois points.
il faut un vecteur et un point.
il faut un vecteur et deux points.
il faut deux points.


5. On considère les deux droites $d$ et $d'$ définies respectivement par les deux représentations paramétriques suivantes :
$d~~\begin{cases}x=-1+3t\\ y=2t\\ z=3-t\end{cases}~~t\in \mathbb{R}$ et $d'~~\begin{cases}x=2+k\\ y=-2+3k\\ z=1+k\end{cases}~~k\in \mathbb{R}$.



La droite d passe par le point de coordonnées (3 ; 2 ; 3).
La droite d' passe par le point de coordonnées (3 ; 1 ; 2).
La droite d' a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2\\-2\\1 \end{pmatrix}$.
La droite d a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -3\\-2\\1 \end{pmatrix}$.


6. Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires alors


(AB) et (CD) sont parallèles.
ABCD est un parallélogramme.
Les points A, B, C et D sont coplanaires.
$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$ est une base de l'espace.


7. Le vecteur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\-6\\2 \end{pmatrix}$ est colinéaire avec le vecteur :



$\overrightarrow{u_1} \begin{pmatrix} -2\\3\\-1 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u_2} \begin{pmatrix} 3\\-4,5\\1,5 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u_3} \begin{pmatrix} -2\\3\\1 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u_4} \begin{pmatrix} -2,4\\3,6\\-1,2 \end{pmatrix}$.


8. On considère les trois vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 2\\7\\-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} 1\\17\\-17 \end{pmatrix}$. Nous avons alors,



$\overrightarrow{v}=1,5\overrightarrow{u}+0,5\overrightarrow{w}$.
$\overrightarrow{w}=-3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.
$3\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$.
ils forment une base.


9. La représentation paramétrique de la droite d est donnée par : $\begin{cases}x=-3+4t\\ y=5t\\ z=2-t\end{cases}~~t\in \mathbb{R}$. Alors,



A(– 3 ; 5 ; 2) appartient à la droite d.
B(1 ; 5 ; 1)appartient à la droite d.
$\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\5\\-1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de d.
$\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 4\\0\\-1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de d.


10. On donne les points A(1 ; 2 ; 1), B(1 ; 1 ; 1) et C(3 ; – 1 ; 3). La parallèle à la droite (BC) passant par A a pour représentation paramétrique :



$\begin{cases}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1+t\end{cases}~~1+t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases}x=-2-2t\\ y=5+2t\\ z=-2-2t\end{cases}~~1+t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases}x=1+t\\ y=-2+2t\\ z=1+t\end{cases}~~1+t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases}x=1+2t\\ y=1-2t\\ z=1+2t\end{cases}~~1+t\in \mathbb{R}$..



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