Fonction exponentielle
1. L'ensemble des solutions de l'équation $e^x=0$ est :




$\left\{0\right\}$.
$-\infty$.
$\left\{1\right\}$.
$\varnothing$.



2. Soit la fonction $f:x\mapsto e^{-x}$. Alors, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et



$f'(x)=-e^{-x}$.
$f'(x)=e^{-x}$.
$f'(x)=\dfrac{1}{e^{x}}$.
$f'(x)=-\dfrac{1}{e^{x}}$.

3. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, l'expression $1-\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}$ est égale à :



$\dfrac{2}{e^{-x}+1}$.
$\dfrac{2e^x}{e^{x}+1}$.
$2$.
$\dfrac{2e^{-x}}{e^{-x}+1}$.

4. L'équation $e^{2x}-e=0$ :



a pour solution $\dfrac{1}{2}$.
n'a pas de solution.
équivaut à $e^{1-2x}=1$.
$e^x=\sqrt{e}$.

5. L'ensemble des solutions de l'inéquation $(e^x-1)(1-x)\geqslant 0$ est :



$]-\infty~;~1]$.
$[0~;~1]$.
$[0~;~+\infty[$.
$]-1~;~0]\,\cup\,[1~;~+\infty[$.


6. Soit la fonction $f:x\mapsto xe^{2x}-1$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Alors, $f'(x)$ est égal à :



$e^{2x}$.
$2e^{2x}$.
$(1-2x)e^{2x}$.
$(2x+1)e^{2x}$.


7. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x(x-1)+x^2$.



$f$ est positive sur $]0~;~+\infty[$.
$f$ est négative sur $]0~;~1[$.
$f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
$f$ admet un minimum en 0.


8. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=-f$ et $f(0)=1$. Il est possible que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :



$f(x)=0$.
$f(x)=e^x$.
$f(x)=\dfrac{1}{e^x}$.
$f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$.

9. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x+e^{-x}$.



Il existe un réel $x$ tel que $f(x)\geqslant 2$.
Pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant 2$.
Il existe un réel $x$ tel que $f(x)< 2$.
Pour tout réel $x$, $f(x)<2$.

10. Soit $a$ et $b$ deux réels.



Pour tous réels $a$ et $b$, $e^{a+b}=\sqrt{e^{2a}e^{2b}}$.
Pour tous réels $a$ et $b$, $2e^{a+b}=e^{2a}+e^{2b}$.
Il existe deux réels $a$ et $b$ tels $2e^{a+b}=e^{2a}+e^{2b}$.
Il existe deux réels $a$ et $b$ tels $2e^{a+b}>e^{2a}+e^{2b}$

11. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^{-x}$.



Pour tout réel $x$, $f(x)f(-x)\leqslant 0$.
Pour tout réel $x$, $f(x)\leqslant 1$.
Pour tout réel $x$, $f'(x)+f(x)=e^{-x}$.
$f$ vérifie $f'+f=0$.

12. Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}+e^x-2$. On pose $X=\e^x$.



$f(x)=0 \Leftrightarrow (e^x+2)(e^x-1)=0$.
$f(x)=0 \Leftrightarrow X^2+X-2=0$.
$f(x)=0$ pour $x=1$.
$0$ a deux antécédents par $f$.

13. Soit la fonction définie sur $]-\infty~;~2]$ par : $f(x)=(k-x^2)e^x$ avec $k$ réel. Dans le repère ci-dessous, on a tracé sa courbe représentative $\mathscr{C}$ ainsi que trois tangentes à $\mathscr{C}$ aux points $A$, $B$ et $C$.
Quelle est la valeur de $k$ ?




$k=-3$.
$k=-e$.
$k=e$.
$k=3$.

14. Cocher les images exactes par $f$ et par $f'$.



$f'(-3)=0$.
$f'(0)=\dfrac{1}{3}$.
$f\left(-\sqrt{3}\right)=0$.
$f(1)=2e$.

15. La droite d'équation :



$3x-y+3=0$ est tangente à $\mathscr{C}$ en $B$.
$y=2e$ est tangente à $\mathscr{C}$ en $C$.
$y=0$ est asymptote à $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
$x=2$ est asymptote à $\mathscr{C}$.


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