Déterminer la décomposition en nombres premiers de: $80$, $220$, $400$, $729$, $1~500$.

$\quad$

$80=2^4\times 5$

$220=2^2\times 5\times 11$

$400=2^4\times 5^2$

$729=3^6$

$1~500=2^2\times 3\times 5^3$

$\quad$

Décomposer $5!$, $6!$ et $7!$ en facteurs premiers.
En déduire la décomposition de $(5!)^2$ , $(6!)^2$, $(7!)^2$.

$\quad$

$\begin{align*}5!&=5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\
&=2^3\times 3\times 5\end{align*}$

$\begin{align*}6!&=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\
&=2^4\times 3^2\times 5\end{align*}$

$\begin{align*}7!&=7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\
&=2^4\times 3^2\times 5\times 7\end{align*}$

Ainsi :

$(5!)^2=2^6 \times 3^2\times 5^2$

$(6!)^2=2^8 \times 3^4\times 5^2$

$(7!)^2=2^8 \times 3^4\times 5^2\times 7^2$

$\quad$

$85^2-4$ est-il le produit de $2$ nombres premiers?

$\quad$

$\begin{align*}85^2-4&=(85-2)(85+2) \\
&=83\times 87 \\
&=3\times 29\times 83\end{align*}$

$85^2-4$ n’est pas le produit de $2$ nombres premiers.

$\quad$

Quel est le plus petit carré parfait divisible par $616$ ?

$\quad$

$616=2^3\times 7\times 11$ ainsi le plus petit carré parfait divisible par $616$ est $2^4\times 7^2\times 11^2=94~864$. (on complète les exposants impairs dans la décomposition en facteurs premiers afin d’obtenir des exposants pairs)

Justifier que $503$ est un nombre premier.
Déterminer $2$ entiers $x$ et $y$ tels que $x^2-y^2 = 503$.

$\sqrt{503}\approx 22,4$. Or $503$ n’est pas divisible par les nombres premiers inférieurs à $22$ ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$).
Par conséquent $503$ est un nombre premier.

$x^2-y^2=503\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=503$.
Ainsi $\begin{cases} x-y=1\\x+y=503\end{cases}$ ou $\begin{cases} x-y=503\\x+y=1\end{cases}$.
C’est-à-dire $\begin{cases} x=252\\y=251\end{cases}$ ou $\begin{cases} x=252\\y=-251\end{cases}$.

Le nombre $401$ est-il premier?
Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ , l’équation $x^2-y^2 = 401$.

$\quad$

$\sqrt{401}\approx 20,02$. Or $401$ n’est pas divisible par les nombres premiers inférieurs à $20$ ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$).
Par conséquent $401$ est un nombre premier.

$x^2-y^2=401\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=401$.
Ainsi $\begin{cases} x-y=1\\x+y=401\end{cases}$ ou $\begin{cases} x-y=401\\x+y=1\end{cases}$.
C’est-à-dire $\begin{cases} x=201\\y=200\end{cases}$ ou $\begin{cases} x=201\\y=-200\end{cases}$.

Le seul couple d’entier naturel est $(201;200)$.

1. Démontrer que tout nombre premier différent de $2$ est congru à $1$ ou $-1$ modulo $4$.
   $\quad$

2. Démontrer que si un entier est congru à $-1$ modulo $4$, il en est de même pour un au moins de ses facteurs premiers.

$\quad$

1. Soit $n$ un nombre premier différent de $2$.
   Il y a $4$ possibilités :
   $\bullet$ $n\equiv 0~[4]$ : $n$ alors divisible par $4$ et n’est pas premiers.
   $\bullet$ $n\equiv 1~[4]$
   $\bullet$ $n\equiv 2~[4]$ : il existe alors $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=4k+2$. $n$ est donc divisible par $2$ et n’est pas premier.
   $\bullet$ $n\equiv 3~[4]$ qu’on peut également écrire $n\equiv -1~[4]$.
   Ainsi $n$ est congru à $1$ ou $-1$ modulo $4$.
   $\quad$

2. $n\equiv -1~[4]$. Si $n$ est premier alors la propriété est vraie.
   Si $n$ n’est pas premier il existe alors deux entiers $a$ et $b$ supérieurs ou égaux à $2$ tels que $n=ab$
   Raisonnons par disjonctions de cas modulo $4$ pour le produit $ab$
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a\text{ mod }4 \backslash ~b\text{ mod }4&0&1&2&-1\\
   \hline
   0&0&0&0&0\\
   \hline
   1&0&1&0&-1\\
   \hline
   2&0&2&0&2\\
   \hline
   -1&0&-1&2&1\\
   \hline\end{array}$$
   Les seules possibilités pour que le produit soit égal à $-1$ modulo $4$ sont $\begin{cases} a\equiv 1~[4]\\b\equiv -1~[4]\end{cases}$ et $\begin{cases} a\equiv -1~[4]\\b\equiv 1~[4]\end{cases}$.
   Si $a$ et $b$ sont premiers alors la propriété est vraie.
   Quitte à renommer les deux nombres on peut supposer que $a\equiv -1~[4]$ et n’est pas premier (sinon la propriété est vraie). En reproduisant le raisonnement $a=a’b’$ où $a’$ et $b’$ sont deux entiers supérieurs ou égaux à $2$. On a alors, modulo $4$, $(a’;b’)=(-1;1)$ ou $(a’;b’)=(1;-1)$.
   On recommence ainsi un nombre fini de fois puisque $n$, possède un nombre fini de diviseurs, jusqu’à ce que $a’$ soit un nombre premier.
   Ainsi, au moins un des facteurs premiers de $n$ est congru à $-1$ modulo $4$.

1. Un entier $n$ a exactement $36$ diviseurs. Quel est ce nombre sachant que sa décomposition en facteurs premiers comporte uniquement $2$ élevé à la puissance $3$ ainsi que $5$ et $7$ élevés à la même puissance.

   $\quad$

Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n=2^3\times 5^k\times 7^k$.
Le nombre de diviseurs de $n$ est alors $(3+1)(k+1)(k+1)=36$
Ainsi $(k+1)^2=9$, $k+1=3$ et $k=2$.

Donc $n=2^3\times 5^2\times 7^2=9~800$.

$\quad$

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les nombres: $$a_n = 4\times 10^n –1 ~~;~~ b_n = 2\times 10^n-1 \text{ et } c_n = 2\times 10^n +1$$

1. Calculer ces nombres pour $n = 1, 2, 3$.
   $\quad$

2. Combien les écritures décimales des nombres $a_n$ et $c_n$ ont-elles de chiffres? Démontrer que $a_n$ et $c_n$ sont divisibles par $3$.
   $\quad$

3. Démontrer en utilisant la liste en fin d’exercice que $b_3$ est premier.
   $\quad$

4. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul , $b_n \times c_n = a_{2n}$ .En déduire la décomposition en produits de facteurs premiers de $a_6$.
   $\quad$

5. Démontrer que $\text{PGCD}\left(b_n ; c_n \right) = \text{PGCD}\left( 2 ; c_n\right)$.
   En déduire que $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux .

Liste des nombres premiers inférieurs à $100$ : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$.

$\quad$

1. On a $a_1=39$, $a_2=399$, $a_3=3~999$.
   $b_1=19$, $b_1=199$, $b_3=1~999$
   $c_1=21$, $c_2=201$, $c_3=2~001$
   $\quad$

2. Soit $n\in \mathbb{N}$. $10^n$ contient $n+1$ chiffres.
   C’est également le cas pour $4\times 10^n$, $4\times 10^n-1$, $2\times 10^n$ et $2\times 10^n+1$.
   $a_n$ et $c_n$ contiennent donc $n+1$ chiffres.
   $\quad$
   $10\equiv 1~[3]$ donc $10^n\equiv 1~[3]$
   Ainsi $a_n\equiv 4-1~[3]$ soit $a_n\equiv 0~[3]$.
   et $c_n\equiv 2+1~[3]$ soit $c_n\equiv 0~[3]$
   $a_n$ et $c_n$ sont donc divisibles par $3$.
   $\quad$

3. $\sqrt{1~999}\approx 44,71$.
   $1~999$ n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $44$.
   Ainsi $b_3$ est premier.
   $\quad$

4. Soit $n\in \mathbb{N}$
   $\begin{align*} a_{2n}&=4\times 10^{2n}-1 \\
   &=\left(2\times 10^n\right)^2-1 \\
   &=\left(2\times 10^n-1\right)\left(2\times 10^n+1\right) \\
   &=b_nc_n\end{align*}$
   $\quad$
   Ainsi
   $\begin{align*}a_6&=b_3c_3 \\
   &=1~999\times 2~001 \\
   &=1~999\times 3\times 667\\
   &=3\times 23\times 29\times 1~999\end{align*}$
   $\quad$

5. Soit $n\in \mathbb{N}$.
   $\text{PGCD}\left(b_n;c_n\right)=\text{PGCD}\left(b_n-c_n;c_n\right)=\text{PGCD}\left(2;c_n\right)$
   Or $\text{PGCD}\left(2;c_n\right)$ divise $2$ et $c_n$.
   $\text{PGCD}\left(2;c_n\right)$ divise $2$. Il divise donc également $2\times 10^n$.
   Par conséquent il divise $c_n-2\times 10^n=1$.
   Donc $\text{PGCD}\left(2;c_n\right)=1$ et les nombres $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux.
   $\quad$

Soit $N\in \mathbb{N}^*$. On considère les entiers de la forme $N^4+4$.

1. Décomposer le polynôme $X^4+4$ en produit de $2$ polynômes du second degré.
   En déduire que $5$ est le seul nombre premier de la forme $N^4+4$.
   $\quad$

2. Montrer que si $N$ n’est pas un multiple de $5$ alors $N^4+4$ est un multiple de $5$.
   $\quad$

1. On a :
   $\begin{align*} X^4+4&=\left(X^2+2\right)^2-4X^2 \\
   &=\left(X^2+2\right))^2-(2X)^2 \\
   &=\left(X^2+2+2X\right)\left(X^2+2-2X\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
   Ainsi $N^4+4=\left(N^2+2N+2\right)\left(N^2-2N+2\right)$
   Pour $5$ s’écrive sous la forme $N^4+4$ il faut donc que $N^2+2N+2=1$ ou que $N^2-2N+2=1$.
   $N^2+2N+2=1 \Leftrightarrow N^2+2N+1=0 \Leftrightarrow (N+1)^2=0 \Leftrightarrow N=-1$ impossible car $n\in \mathbb{N}^*$.
   $N^2-2N+2=1 \Leftrightarrow N^2-2N+1=0 \Leftrightarrow (N-1)^2=0 \Leftrightarrow N=1$
   Ainsi L’unique façon d’avoir $N^4+4=5$ est de prendre $N=1$.
   $\quad$

2. Si $N\equiv 1~[5]$ alors $N^4\equiv 1~[5]$ et $N^4+4\equiv 0~[5]$.
   Si $N\equiv 2~[5]$ alors $N^4\equiv 16~[5]$ et $N^4+4\equiv 0~[5]$.
   Si $N\equiv 3~[5]$ alors $N^4\equiv 81~[5]$ et $N^4+4\equiv 0~[5]$.
   Si $N\equiv -1~[5]$ (on fait moins de calcul qu’en considérant $n\equiv 4~[5]$) alors $N^4\equiv 1~[5]$ et $N^4+4\equiv 0~[5]$.
   Dans tous les cas $N^4+4$ est un multiple de $5$.
   $\quad$