Quelle est la forme trigonométrique de : $z_1 = -1 + i \sqrt{3}$ et $z_2 = 3-3i$?

$\quad$

$|z_1| = \sqrt{1 + 3} = 2$

donc $z_1 = 2\left(\dfrac{-1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 2\left(\cos \dfrac{2\pi}{3} + i \sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$

$\quad$

$|z_2| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$

donc

$\begin{align} z_2 &= 3\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2} }-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right) \\\\
&= 3\sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2} i\right) \\\\
& = 3\sqrt{2} \left( \cos \dfrac{-\pi}{4} + i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right)
\end{align}$

Déterminer le module et un argument de :

1. $z = \dfrac{1 + i}{1-i}$
   $\quad$

2. $z= \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i}$
   $\quad$

3. $z = \dfrac{-\sqrt{2}}{1 + i}$
   $\quad$

1. $|1 + i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
   $1 + i = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
   Par conséquent arg$(1 + i) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
   $\quad$
   $|1 – i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
   $1 – i = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{-\pi}{4} + i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right)$
   Par conséquent arg$(1-i) = -\dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
   $\quad$
   Donc $|z| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$
   Et arg$(z) = \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \quad (2\pi)$
   $\quad$
   On pouvait également déterminer la forme algébrique de $z$ (on obtient $i$) et ensuite déterminer le module et un argument.
   $\quad$

2. $\left| 1 + i\sqrt{3}\right| = 2$
   $1 + i \sqrt{3} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right) = 2\left( \cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3}\right)$
   Par conséquent arg$\left(1 + i \sqrt{3}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad (2\pi)$.
   $\quad$
   $|1 + i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
   $1 + i = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
   Par conséquent arg$(1 + i) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
   Donc $|z| = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
   Et arg$(z) = \dfrac{\pi}{3} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{i}{12} \quad (2\pi)$.
   $\quad$

3. $-\sqrt{2} = \sqrt{2}\left(\cos \pi +i \sin \pi\right)$ C’est un réel négatif!
   Donc arg$\left(-\sqrt{2} \right) = \pi \quad (2\pi)$.
   $\quad$
   $|1 + i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
   $1 + i = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{i}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
   Par conséquent arg$(1 + i) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
   $\quad$
   Donc $|z| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$
   Et arg$(z) = \pi – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$.

Mettre chaque nombre complexe sous forme trigonométrique.

1. $z = (-1 + i)^5$
   $\quad$

2. $z = \left(\sqrt{3}-i\right)^4$
   $\quad$

3. $z = \dfrac{\left(\sqrt{2}-1\right)i}{1 – i}$
   $\quad$

1. $|- 1 + i| = \sqrt{2}$
   Donc $-1 + i = \sqrt{2} \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i \sin \dfrac{3\pi}{4}\right)$.
   Donc arg$(-1 + i) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$.
   Par conséquent arg$\left((-1 + i)^5\right) = 5 \times \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi) = -\dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
   $\quad$
   Ainsi
   $\begin{align} (-1 + i)^5 &= \sqrt{2}^5\left(\cos \dfrac{-\pi}{4}+i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right) \\\\
   &= 4\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{-\pi}{4}+i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right)
   \end{align}$
   $\quad$

2. $\left|\sqrt{3}-i \right| = 2$.
   $\sqrt{3}-i = 2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right) = 2\left(\cos \dfrac{-\pi}{6} + i\sin \dfrac{-\pi}{6}\right)$
   Donc arg$\left(\sqrt{3}-i\right) = -\dfrac{\pi}{6} \quad (2\pi)$.
   $\quad$
   Par conséquent arg$\left(\left(\sqrt{3}-i\right)^4\right) = 4 \times \dfrac{-\pi}{6} = -\dfrac{2\pi}{3} \quad (2\pi)$.
   $\quad$
   Ainsi
   $\begin{align} \left(\sqrt{3} – i\right)^4 &= 2^4\left(\cos \dfrac{-2\pi}{3} + i\sin \dfrac{-2\pi}{3} \right) \\\\
   & = 16\left(\cos \dfrac{-2\pi}{3} + i\sin \dfrac{-2\pi}{3} \right)
   \end{align}$
   $\quad$

3. $\left|\left(\sqrt{2}-1\right)i\right| = \sqrt{2}-1$ $\quad$ arg$\left(\left(\sqrt{2}-1\right)i\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
   $\quad$
   $|1-i| = \sqrt{2}$
   $1-i| = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{-\pi}{4}+i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right)$
   Donc arg $(1-i) = -\dfrac{-\pi}{4}$
   $\quad$
   Ainsi $|z| = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$
   Et arg$(z) = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$
   $\quad$
   Donc $z = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i \sin \dfrac{3\pi}{4} \right)$

Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :

1. $z = \left(\sin \dfrac{\pi}{6} + i \cos \dfrac{\pi}{6}\right)^6$
   $\quad$

2. arg$(i z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$ et $|z| = 2$
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align} z &= \left(\sin \dfrac{\pi}{6} + i \cos \dfrac{\pi}{6}\right)^6 \\\\
   & = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^6 \\\\
   & = \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3}\right)^6
   \end{align}$
   Par conséquent arg$(z) = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi \quad (2\pi) = 0 \quad (2\pi)$.
   Donc $z = \cos 0 + i \sin 0 $.
   $\quad$

2. $\quad$
   arg$(i z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$
   $\Leftrightarrow$ arg$(i)$ + arg$(z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi) $
   $ \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{2} +$ arg$(z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi) $
   $\Leftrightarrow $ arg$(z) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi) $.
   Donc $z = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.

On donne les nombres complexes : $z_1 = \dfrac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = 1-i$.

1. Donner une forme trigonométrique de $z_1$, $z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$.
   $\quad$

2. Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$.
   $\quad$

3. En déduire la forme exacte de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
   $\quad$

1. $|z_1| = \dfrac{\sqrt{6 + 2}}{2} = \sqrt{2}$
   Donc $z_1 = \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{-\pi}{6} + i \sin \dfrac{-\pi}{6}\right)$
   $\quad$
   $|z_2| = \sqrt{2}$ donc $z_2 = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{-\pi}{4} + i \sin \dfrac{-\pi}{4}\right)$
   $\quad$
   Par conséquent arg$\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \dfrac{-\pi}{6}-\dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} \quad (2\pi)$.
   Et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$.
   $\quad$
   Ainsi $\dfrac{z_1}{z_2} = \cos \dfrac{\pi}{12} + i \sin \dfrac{\pi}{12}$
   $\quad$

2. $\quad$
   $\begin{align} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{6} – i \sqrt{2}}{2}}{1 – i} \\\\
   & = \dfrac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2(1-i)} \times \dfrac{1 + i}{1 + i} \\\\
   & = \dfrac{\sqrt{6} + i \sqrt{6}-i\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} \\\\
   &= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} i
   \end{align}$
   $\quad$

3. En identifiant les formes trigonométriques et algébriques de $\dfrac{z_1}{z_2}$ on obtient :
   $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

On rappelle les formules trigonométriques :
$$\cos 2a = 2\cos^2 a-1 \quad \text{et} \quad \sin(2a) = 2\sin a \cos a$$

On note $z_1 = 1 + \cos \alpha + i \sin \alpha$ avec $\alpha \in [0;\pi[$.

1. Démontrer que $z_1 = 2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \dfrac{\alpha}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)$.
   $\quad$

2. En déduire le module et un argument de $z_1$.
   $\quad$

3. Reprendre la question précédente lorsque $\alpha \in ]\pi;2\pi]$.
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align} z_1 & = 1 + \cos \dfrac{2 \alpha}{2} + i \sin \dfrac{2\alpha}{2} \\\\
   & = 2\cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + 2i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} \\\\
   & = 2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \dfrac{\alpha}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)
   \end{align}$
   $\quad$

2. $\alpha \in [0;\pi|$ donc $\dfrac{\alpha}{2} \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[$
   Par conséquent $\cos \dfrac{\alpha}{2} > 0$ et $\sin \dfrac{\alpha}{2} \ge 0$
   On a donc fournit la forme trigonométrique de $z_1$.
   Ainsi $\left|z_1 \right| =2\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et arg$(z_1) = \dfrac{\alpha}{2} \quad (2\pi)$.
   $\quad$

3. $\alpha \in [\pi;2\pi|$ donc $\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$
   Par conséquent $\cos \dfrac{\alpha}{2} < 0$ et $\sin \dfrac{\alpha}{2} \ge 0$
   Ainsi, l’expression de $z_1$ n’est donc pas donnée sous sa forme trigonométrique.
   $\begin{align} z_1 &= -2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(-\cos \dfrac{\alpha}{2} – i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right) \\\\
   &= -2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \left(\pi + \dfrac{\alpha}{2}\right) + i\sin \left(\pi + \dfrac{\alpha}{2}\right)\right)
   \end{align}$
   Donc $\left|z_1\right| = -2\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et arg$\left(z_1\right) = \pi + \dfrac{\alpha}{2} \quad (2\pi)$

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par :
$$\begin{cases}
\begin{array}{lcl}
z_0 & = & 16 \\
z_{n+1} & = & \dfrac{1 + i}{2}z_n, \text{ pour tout entier naturel }n.
\end{array}
\end{cases}$$

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$, on considère les points $A_n$ d’affixes $z_n$.

1. Calculer $z_1, z_2$ et $z_3$.
   $\quad$

2. Placer les points $A_0, A_1$ et $A_2$.
   $\quad$

3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + i}{2}$ sous forme trigonométrique.
   $\quad$

4. Démontrer que le triangle $OA_0A_1$ est isocèle rectangle en $A_1$.
   $\quad$

$\quad$

<

1. $z_1 = \dfrac{1+\text{i}}{2} \times 16$ $=8(1+\text{i})$
   $z_2 = \dfrac{1+\text{i}}{2}\times 8(1 + \text{i}) $ $=8i$
   $z_3 = \dfrac{1+\text{i}}{2}\times 8\text{i} = -4 + 4\text{i}$
   $~$
2. $~$
   
3. $\left| \dfrac{1+\text{i}}{2} \right| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
   Donc $\dfrac{1+\text{i}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{i} \right)$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \dfrac{\pi}{4} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{4} \right) $
   $~$
4. $\quad$
   $\begin{align} \dfrac{z_O – z_{A_1}}{z_{A_0} – z_{A_1}} & = \dfrac{-8(1+i)}{16 – 8(1 + i)} \\\\
   &=\dfrac{-8(1 + i)}{8(1 – i)} \\\\
   &= \dfrac{-(1+ i)^2}{2} \\\\
   & = – i
   \end{align}$
   $\quad$
   Ainsi $\left|\dfrac{z_O-z_{A_1}}{z_{A_0} – z_{A_1}}\right| = \dfrac{A_1 O}{A_1 A_0} = 1$
   $\quad$
   Et arg$\left(\dfrac{z_O-z_{A_1}}{z_{A_0} – z_{A_1}} \right) = \left(\overrightarrow{A_1 O},\overrightarrow{A_1 A_0}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad (2\pi)$.
   Le triangle $OA_0A_1$ est donc rectangle et isocèle en $A_1$.