Déterminer le conjugué de chaque nombre complexe et donner sa forme algébrique.

1. $z = (3+i)(-13 – 2i)$
   $\quad$

2. $z=i(1-i)^3$
   $\quad$

3. $z = \dfrac{2 – 3i}{8 + 5i}$
   $\quad$

4. $z=\dfrac{2}{i + 1}-\dfrac{3}{1-i}$
   $\quad$

1. $\overline{z} = \overline{(3+i)(-13 – 2i)}$ $= (3 – i)(-13 + 2i)$ $=-39 +6i + 13i + 2 $ $=-37 + 19i$
   $\quad$

2. $\quad$
   $\begin{align*} \overline{z}& = \overline{i(1-i)^3}\\\\
   &= -i(1 + i)^3 \\\\
   &=-i(1+ i)(1 + i)^2 \\\\
   &= -i(1 + i)(1 + 2i – 1) \\\\
   &= (-i + 1)(2i) \\\\
   &=2 + 2i
   \end{align*}$
   $\quad$

3. $\quad$
   $\begin{align*} \overline{z} &= \overline{\left(\dfrac{2 – 3i}{8 + 5i}\right)} \\\\
   & = \dfrac{2 + 3i}{8 – 5i} \\\\
   & = \dfrac{2 + 3i}{8 – 5i} \times \dfrac{8 + 5i}{8 + 5i}\\\\
   &= \dfrac{16 + 10i + 24i – 15}{8^2 + 5^2} \\\\
   &=\dfrac{1 + 34i}{89}
   \end{align*}$
   $\quad$

4. $\quad$
   $\begin{align*} \overline{z} &= \overline{\dfrac{2}{i + 1}-\dfrac{3}{1-i}} \\\\
   &=\overline{\left(\dfrac{2(1 – i) – 3(i + 1)}{(i + 1)(1 – i)}\right)} \\\\
   &=\overline{\left(\dfrac{2 – 2i – 3i – 3}{1^2 + 1^2}\right)} \\\\
   &=\overline{\dfrac{-1 – 5i}{2}}\\\\
   &=\dfrac{-1 + 5i}{2}
   \end{align*}$

Mettre chaque nombre complexe sous sa forme algébrique.

1. $z = \dfrac{2 + i}{3 + i}$
   $\quad$

2. $z = \dfrac{(2+i)(1 – 4i)}{i + 1}$
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*} z &= \dfrac{2 + i}{3 + i} \\\\
   &= \dfrac{2 + i}{3 + i} \times \dfrac{3 – i}{3 – i} \\\\
   &= \dfrac{6 -2i+ 3i + 1}{3^2 + 1^2} \\\\
   &= \dfrac{7 + i}{10}
   \end{align*}$
   $\quad$

2. $\quad$
   $\begin{align*} z &=\dfrac{(2+i)(1 – 4i)}{i + 1} \\\\
   &= \dfrac{2 – 8i + i + 4}{i + 1} \\\\
   &= \dfrac{6 – 7i}{i + 1} \times \dfrac{-i + 1}{-i + 1} \\\\
   &=\dfrac{-6i + 6 – 7 – 7i}{1^2 + 1^2}\\\\
   &=\dfrac{-1 -13i}{2}
   \end{align*}$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes.

1. $2z^2 – 6z + 5=0$
   $\quad$

2. $z^2+z+1=0$
   $\quad$

3. $z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0$
   $\quad$

1. $2z^2 – 6z + 5=0$
   $\quad$
   On calcule le discriminant : $\Delta = (-6)^2 – 4 \times 2 \times 5 = -4 <0$
   L’équation possède donc deux racines complexes :
   $z_1 = \dfrac{6 – i\sqrt{4}}{4} = \dfrac{3 – i}{2}$ et $z_2 = \overline{z_1} = \dfrac{3 + i}{2}$
   $\quad$

2. $z^2+z+1=0$
   $\quad$
   On calcule le discriminant : $\Delta = 1^2 – 4 = -3 <0$
   L’équation possède donc deux racines complexes :
   $z_1 = \dfrac{-1 – i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \overline{z_1} = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$
   $\quad$

3. $z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0$
   $\quad$
   Attention, il ne s’agit pas d’une équation du second degré “classique”. On doit donc passer par la forme algébrique de $z = x + i y$.
   On obtient ainsi :
   $\begin{align*} z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0 & \Leftrightarrow (x + i y)^2 + 2(x – i y) + 1 = 0\\\\
   & \Leftrightarrow x^2 – y^2 + 2i xy + 2x – 2i y + 1 = 0\\\\
   & \Leftrightarrow x^2 – y^2 + 2x + 1 + i(2xy – 2y) = 0
   \end{align*}$
   On doit donc résoudre le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x^2 – y^2 + 2x + 1 = 0 \\\\ 2xy – 2y = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 1)^2 – y^2 = 0\\\\2y(x – 1) = 0 \end{cases}\\\\
   & \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 1)^2 – y^2 = 0 \\\\y = 0 \text( ou ) x = 1 \end{cases}
   \end{align*}$
   Si $y = 0$ alors en remplaçant dans la première équation, on trouve $(x + 1)^2 =0$ soit $x = -1$.
   Si $x = 1$ alors en remplaçant dans la première équation, on trouve $ 4 -y ^2 = 0$ soit $y = 2$ ou $y= -2$.
   $\quad$
   Les solutions de l’équation sont donc : $-1, 1 + 2i$ et $1 – 2i$.

Soit $z = x + i y$, $x$ et $y$ étant deux réels tels que $(x;y) \ne (1;0)$.

On pose $Z = \dfrac{z + 2i}{z – 1}$.

Déterminer l’ensemble des points d’affixe $z$ tel que :

1. $Z$ soit un nombre réel.
   $\quad$

2. $Z$ soit un imaginaire pur.
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*} Z &= \dfrac{z + 2i}{z – 1} \\\\
   &= \dfrac{x + i y+ 2i}{x + i y – 1} \\\\
   &= \dfrac{x + i(y + 2)}{x – 1 + i y} \\\\
   &= \dfrac{x + i(y + 2)}{x – 1 + i y} \times \dfrac{x – 1 – i y}{x – 1 – i y} \\\\
   &= \dfrac{x(x – 1) -i xy + i (y + 2)(x – 1) + y(y + 2)}{(x – 1)^2 + y^2}\\\\
   &=\dfrac{x(x – 1) + y(y + 2) + i\left((y + 2)(x – 1) – xy\right)}{(x – 1)^2 + y^2}
   \end{align*}$
   $\quad$

2. On veut que $Z$ soit un nombre réel. Il faut donc que sa partie imaginaire soit nulle.
   Cela signifie donc que : $\dfrac{(y + 2)(x – 1) – xy}{(x – 1)^2 + y^2} = 0$
   $ \Leftrightarrow xy – y + 2x – 2 – xy = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
   $ \Leftrightarrow 2x – y – 2 = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
   L’ensemble des points tel que $Z$ soit un nombre réel est donc la droite d’équation $2x – y – 2 = 0$ privée du point de coordonnées $(1;0)$.
   $\quad$

3. On veut que $Z$ soit un imaginaire pur. Il faut donc que sa partie réelle soit nulle.
   Cela signifie donc que : $\dfrac{x(x – 1) + y(y + 2)}{(x – 1)^2 + y^2} = 0$
   $ \Leftrightarrow x^2 – x + y^2 + 2y = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
   $ \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y + 1)^2 – 1 = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
   $ \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{5}{4}$ et $(x;y) \ne (1;0)$
   L’ensemble des points tel que $Z$ soit un imaginaire pur est donc le cercle de centre $\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé du point de coordonnées $(1;0)$.

1. On considère un réel $b$. Développer $\left(z^2+bz+4\right)\left(z^2-bz+4\right)$.
   $\quad$

2. En déduire les solutions complexes de l’équation $z^4+16=0$.
   $\quad$

1. On considère un réel $b$. Développer $\left(z^2+bz+4\right)\left(z^2-bz+4\right)$.
   $\quad$

2. En déduire les solutions complexes de l’équation $z^4+16=0$.
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*} \left(z^2+bz+4\right)\left(z^2-bz+4\right)&=z^4-bz^3+4z^2+bz^3-b^2z^2+4bz+4z^2-4bz+16\\
   &=z^4+\left(8-b^2\right)z^2+16
   \end{align*}$
   $\quad$

2. Posons $b=2\sqrt{2}$ alors $b^2=8$.
   Ainsi, d’après la question précédente, $\left(z^2+2\sqrt{2}z+4\right)\left(z^2-2\sqrt{2}z+4\right)=z^4+16$.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs au moins est nul.
   Donc
   $z^4+16=0 \Leftrightarrow z^2+2\sqrt{2}z+4=0$ ou $z^2-2\sqrt{2}z+4=0$.
   $\bullet$ Pour $z^2+2\sqrt{2}z+4=0$
   $\Delta=-8<0$
   Il y a donc deux solutions complexes :
   $z_1=\dfrac{-2\sqrt{2}-i\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ et $z_2=\overline{z_1}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
   $\bullet$ Pour $z^2-2\sqrt{2}z+4=0$
   $\Delta=-8<0$
   Il y a donc deux solutions complexes :
   $z_3=\dfrac{2\sqrt{2}-i\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ et $z_4=\overline{z_3}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
   Les solutions de l’équation $z^4+16=0$ sont donc $-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, $\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}+i\sqrt{2}$

Pour tout nombre complexe $z$ on pose $P(z)=z^4-1$.

1. Factoriser $P(z)$.
   $\quad$

2. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $P(z)=0$.
   $\quad$

3. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^4=1$
   $\quad$

1. $z^4-1=\left(z^2\right)^2-1^2=\left(z^2-1\right)\left(z^2+1\right)=(z-1)(z+1)\left(z^2+1\right)$.
   $\quad$

2. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $P(z)=0 \Leftrightarrow z-1=0$ ou $z+1=0$ ou $z^2+1=0$
   $\Leftrightarrow z=1$ ou $z=-1$ ou $z^2=-1$
   Les solutions de l’équation $P(z)=0$ sont donc $-1;1;i$ et $-i$.
   $\quad$

3. Si on pose $Z=\dfrac{2z+1}{z-1}$ l’équation $\left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^4=1$ est équivalente à $P(Z)=0$
   $\Leftrightarrow Z=1$ ou $Z=-1$ ou $Z=i$ ou $Z=-i$.
   $\quad$
   Soit $a\in \mathbb{C}$
   $\begin{align*} Z=a &\Leftrightarrow \dfrac{2z+1}{z-1}=a \\
   &\Leftrightarrow 2z+1=a(z-1) \text{ et }z\neq 1\\
   &\Leftrightarrow 2z+1=az-a \text{ et }z\neq 1\\
   &\Leftrightarrow (2-a)z=-1-a \text{ et }z\neq 1\\
   &\Leftrightarrow z=\dfrac{-1-a}{2-a} \text{ et }z\neq 1
   \end{align*}$
   Par conséquent $Z=1 \Leftrightarrow z=-2$
   $Z=-1\Leftrightarrow z=0$
   $Z=i\Leftrightarrow z=\dfrac{-1-i}{2-i}\Leftrightarrow z=\dfrac{-1-3i}{5}$
   $Z=-i \Leftrightarrow z=\dfrac{-1+i}{+-i}\Leftrightarrow z=\dfrac{-1+3i}{5}$
   Les solutions de l’équation initiale sont donc $-2;0;\dfrac{-1-3i}{5}$ et $\dfrac{-1+3i}{5}$

1. Pour tout nombre complexe $z$ on pose $P(z)=z^4-1$.

   1. Factoriser $P(z)$.
      $\quad$

   2. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $P(z)=0$.
      $\quad$

   3. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^4=1$
      $\quad$

   $\quad$

1. Soit $y\in \mathbb{R}$ alors $i y$ est un imaginaire pur.
   Supposons que $i y$ soit une solution de $(E)$.
   Par conséquent
   $\begin{align*}i y \text{ solution de }(E) &\Leftrightarrow (i y)^3-(1-i)(i y)^2+(1-i)i y+i =0\\
   &\Leftrightarrow -i y^3-(1-i)\times \left(-y^2\right)+i y+y+i =0 \\
   &\Leftrightarrow -iy^3+y^2-iy^2+i y+y+i =0\\
   &\Leftrightarrow y^2+y+i\left(1+y-y^2-y^3\right)=0\\
   &\Leftrightarrow \begin{cases} y(y+1)=0 \\1+y-y^2-y^3=0 \end{cases}\\
   &\Leftrightarrow \begin{cases} y=0 \text{ ou } y=-1 \\1+y-y^2-y^3=0 \end{cases}
   \end{align*}$
   $0$ n’est pas solution de l’équation $1+y-y^2-y^3=0$
   $-1$ est solution de l’équation $1+y-y^2-y^3=0$.
   Par conséquent la seule solution imaginaire pure possible est $-i$
   $\quad$
   Vérifions que $-i$ est bien solution de $(E)$
   $(-i)^3-(1-i)(-i)^2+(1-i)(-i)+i=i+1-i-i-1+i=0$
   Donc $-i$ est l’unique solution imaginaire pure de l’équation $(E)$.
   $\quad$

2. Puisque $-i$ est solution de $(E)$ on peut factoriser le polynôme par $(z+i)$.
   On cherche donc les nombres complexes $a$ et $b$ tels que :
   $(z+i)\left(z^2+az+b\right)=z^3-(1-i)z+(1-i)z+i$
   $\begin{align*} (z+i)\left(z^2+az+b\right)&=z^3+az^2+bz+i z^2+aiz+bi\\
   &=z^3+(a+i)z^2+(b+ai)z+bi
   \end{align*}$
   Par identification on a donc $a=-1$ et $b=1$
   Ainsi $(E) \Leftrightarrow (z+i)\left(z^2-z+1\right)=0$
   On considère l’équation $z^2-z+1=0$
   $\Delta = -3<0$
   Il y a donc deux solutions complexes :
   $z_1=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}$.
   Les solutions de $(E)$ sont donc $-i$, $\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $25+10z+z^2=16i$ .

$\quad$

On pose $z=x+i y$

$\begin{align*} 25+10z+z^2=16i &\Leftrightarrow 25+10(x+i y)+x^2-y^2+2i xy=16i \\
&\Leftrightarrow 25+10x+x^2-y^2+i\left(10y+2xy\right)=16i\\
&\Leftrightarrow (5+x)^2-y^2+i y(10+2x)=16i\\
&\Leftrightarrow \begin{cases} (5+x)^2-y^2=0 \\y(10+2x)=16\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \begin{cases} (5+x)^2=y^2\\y(10+2x)=16\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases} y=5+x \text{ ou } y=-5-x\\y(10+2x)=16\end{cases} \\
&\Leftrightarrow \begin{cases}y=5+x\\(5+x)(10+2x)=16\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} y=-5-x\\(-5-x)(10+2x)=16\end{cases} \\
&\Leftrightarrow \begin{cases} y=5+x\\2x^2+20x+34=0\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} y=-5-x\\-2x^2-20x-66=0\end{cases} \\
&\Leftrightarrow \begin{cases} y=5+x\\x=-5+2\sqrt{2} \text{ ou }x=-5-2\sqrt{2}\end{cases} \\
& \quad \text{ il n’y a pas de solution réelles à }-2x^2-20x-66=0\\
&\Leftrightarrow z=-5+2\sqrt{2}+2i\sqrt{2} \text{ ou } z=-5-2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}
\end{align*}$

Les solutions de l’équation sont donc $-5+2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$ et $-5-2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$

$\quad$

$A$, $B$ et $C$ sont les points d’affixes respectives :
$z_A = -1 + i, z_B = 2 + i, z_C = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}i$.

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$.
   $\quad$

2. Calculer les affixes des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$.
   $\quad$

3. En déduire les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.
   Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $C$?
   $\quad$

1. $\quad$
   
2. $z_{\vec{AB}} = z_B – z_A = 2 + i – (-1 + i)$ $=3$
   $\quad$
   $z_{\vec{AC}} = z_C – z_A = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}i – (-1 + i)$ $=\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}i$
   $\quad$
   $z_{\vec{BC}} = z_C – z_B = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}i – (2 + i)$ $= -\dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2}i$
   $\quad$
3. On a donc $AB = |3| = 3$
   $\quad$
   $AC = \left|\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}i \right| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}}$ $=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
   $\quad$
   $BC = \left|-\dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2}i \right| = \sqrt{\dfrac{25}{4} + \dfrac{9}{4}}$ $=\sqrt{\dfrac{17}{2}}$
   $\quad$
   Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$.
   Or $AB^2 + AC^2 = 9 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{23}{2}$ et $BC^2 = \dfrac{17}{2}$.
   Par conséquent $AB^2+AC^2 \ne BC^2$.
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

Dans chaque cas, trouver l’ensemble des points dont l’affixe $z$ satisfait la condition indiquée.

1. $|z – 3| = |z -1 + i|$
   $\quad$

2. $|z +2 – i| = \sqrt{5}$
   $\quad$

3. $|z + 3 – i| \le 2$
   $\quad$

1. $|z – 3| = |z -1 + i| \Leftrightarrow |z – 3| = |z – (1 – i)|$
   On appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ le point d’affixe $3$ et $B$ le point d’affixe $1 -i$.
   Par conséquent $|z – 3| = |z – (1 – i)| \Leftrightarrow AM = BM$.
   L’ensemble des points cherché est donc la médiatrice de $[AB]$.
   $\quad$

2. $|z +2 – i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow |z – (-2 + i)| = \sqrt{5}$
   On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $C$ le point d’affixe $-2 + i$.
   Par conséquent $|z – (-2 + i)| = \sqrt{5} \Leftrightarrow CM = \sqrt{5}$.
   L’ensemble des points cherché est donc le cercle de centre $C$ et de rayon $\sqrt{5}$.
   $\quad$

3. $|z + 3 – i| \le 2 \Leftrightarrow |z – (-3 +i)| \le 2$.
   On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $D$ le point d’affixe $-3 + i$.
   Par conséquent $|z – (-3 +i)| \le 2 \Leftrightarrow DM \le 2$.
   L’ensemble des points cherché est donc le disque de centre $D$ et de rayon $2$, le cercle étant inclus (il s’agit, autrement dit, du disque fermé).