MathsMde – Probabilités conditionnelles

1️⃣ Rappels de base en probabilités

On travaille sur un univers $\Omega$ muni d’une probabilité $P$.

$P(A)$ : probabilité de l’événement $A$.
$\overline{A}$ : événement contraire de $A$.
$P(\Omega) = 1$ et $P(\varnothing) = 0$.
Si $A$ et $B$ sont incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces.

$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$
$A =$ « obtenir un nombre pair » $\Rightarrow A = \{2,4,6\}$, donc $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
$B =$ « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » $\Rightarrow B = \{5,6\}$, donc $P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

2️⃣ Probabilité conditionnelle $P_B(A)$

On suppose que $P(B) \neq 0$.

La probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé se note $P_B(A)$ ou $P(A \mid B)$.

$$P_B(A) = P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{(avec } P(B) \neq 0\text{)}$$

Intuitivement, on se restreint à l’univers $B$ : on regarde la fréquence de $A$ parmi les cas où $B$ est réalisé.

Exemple : On lance un dé équilibré. Soit $A =$ « obtenir un nombre pair » et $B =$ « obtenir un nombre strictement supérieur à 3 ».

$A = \{2,4,6\}$, $B = \{4,5,6\}$
$A \cap B = \{4,6\}$
$P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
$P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Donc : $$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3}.$$

3️⃣ Formule des probabilités composées

À partir de la définition de la probabilité conditionnelle, on obtient :

$$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A) = P(A) \times P_A(B)$$

C’est la formule des probabilités composées : la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent simultanément est le produit :

de la probabilité du premier événement,
par la probabilité du second sachant que le premier est réalisé.

Exemple : On tire successivement deux cartes d’un jeu de 32 cartes, sans remise. Soit $A =$ « la première carte est un cœur » et $B =$ « la deuxième carte est un cœur ».

$P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$
Si $A$ est réalisé, il reste 7 cœurs sur 31 cartes, donc $P_A(B) = \dfrac{7}{31}$

Donc : $$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{7}{31} = \dfrac{7}{124}.$$

4️⃣ Partition de l’univers et formule des probabilités totales

Soient $(B_1, B_2, \dots, B_n)$ une partition de l’univers $\Omega$ :

les $B_i$ sont deux à deux incompatibles,
$B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$,
$P(B_i) > 0$ pour tout $i$.

Alors, pour tout événement $A$ :

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \times P_{B_i}(A)$$

C’est la formule des probabilités totales.

Exemple : Une usine possède deux machines $M_1$ et $M_2$.

$M_1$ produit 60% des pièces, $M_2$ en produit 40%.
Parmi les pièces de $M_1$, 2% sont défectueuses.
Parmi les pièces de $M_2$, 5% sont défectueuses.

On note :

$B_1 =$ « la pièce vient de $M_1$ »
$B_2 =$ « la pièce vient de $M_2$ »
$D =$ « la pièce est défectueuse »

Alors : $$P(D) = P(B_1)P_{B_1}(D) + P(B_2)P_{B_2}(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}032.$$ Donc 3,2% des pièces sont défectueuses.

5️⃣ Formule de Bayes

Avec les notations précédentes, si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$ :

$$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{et} \quad P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.$$

On en déduit la formule de Bayes :

$$P_B(A) = \dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}.$$

Exemple : On reprend l’exemple de l’usine. On sait qu’une pièce est défectueuse. On cherche la probabilité qu’elle vienne de $M_2$.

$P(B_2) = 0{,}4$
$P_{B_2}(D) = 0{,}05$
$P(D) = 0{,}032$ (calculé précédemment)

On cherche $P_D(B_2)$ : $$P_D(B_2) = \dfrac{P(B_2) \times P_{B_2}(D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}4 \times 0{,}05}{0{,}032} = \dfrac{0{,}02}{0{,}032} = 0{,}625.$$ Donc, sachant qu’une pièce est défectueuse, la probabilité qu’elle vienne de $M_2$ est de 62,5%.

6️⃣ Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$$

Si $P(B) \neq 0$, cette condition est équivalente à :

$$P_B(A) = P(A).$$

Intuitivement, la réalisation de $B$ ne change pas la probabilité de $A$.

Exemple : On lance deux dés équilibrés, indépendants. Soit $A =$ « le premier dé montre un 6 » et $B =$ « le second dé montre un nombre pair ».

$P(A) = \dfrac{1}{6}$
$P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
$P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$ (car les lancers sont indépendants)

On vérifie bien : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$$ Donc $A$ et $B$ sont indépendants.

7️⃣ Arbres pondérés et lecture des probabilités

Les arbres pondérés sont un outil visuel très utile pour :

représenter des expériences successives,
visualiser les probabilités conditionnelles,
appliquer les formules des probabilités composées et totales.

Exemple : On reprend l’exemple de l’usine avec $M_1$ et $M_2$. On peut représenter la situation par un arbre :

Première branche : choix de la machine ($M_1$ avec 0,6, $M_2$ avec 0,4).
Deuxième niveau : pour chaque machine, deux branches : « défectueuse » ou « non défectueuse ».

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin. Par exemple : $$P(M_2 \cap D) = P(M_2) \times P_{M_2}(D) = 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}02.$$

8️⃣ Synthèse

$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ : probabilité conditionnelle.
$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$ : probabilités composées.
$P(A) = \sum_i P(B_i)P_{B_i}(A)$ : probabilités totales.
Formule de Bayes : $P_B(A) = \dfrac{P(A)P_A(B)}{P(B)}$.
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ et $P_B(A) = P(A)$.
Les arbres pondérés permettent de structurer les calculs.