Inégalité de Tchebychev – Cours & Exercices interactifs
1️⃣ Rappel : espérance et variance
Pour une variable aléatoire $X$ :
$$E(X)=\sum x_i p_i,$$
$$\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2.$$
2️⃣ Inégalité de Tchebychev – Énoncé
Pour tout $a>0$ :
$$\mathbb{P}(|X-E(X)|\ge a)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{a^2}.$$
Elle donne une borne supérieure de la probabilité qu’une variable s’écarte trop de son espérance.
3️⃣ Interprétation
- Plus la variance est petite, plus $X$ est concentrée autour de $E(X)$.
- Plus $a$ est grand, plus la probabilité d’un écart $\ge a$ est faible.
- Elle fonctionne même sans connaître la loi exacte de $X$.
4️⃣ Exemples détaillés
Exemple 1
$E(X)=10$, $\mathrm{Var}(X)=4$.
$$\mathbb{P}(|X-10|\ge 5)\le \frac{4}{25}=0{,}16.$$
Exemple 2 – Loi binomiale
$X\sim\mathcal{B}(n,p)$, donc $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$.
$$\mathbb{P}(|X-np|\ge\sqrt{n})\le p(1-p).$$
Exemple 3 – Contexte industriel
$E(X)=50$, $\mathrm{Var}(X)=1$.
$$\mathbb{P}(|X-50|\ge 3)\le \frac{1}{9}\approx 0{,}11.$$
5️⃣ Exercices interactifs
Exercice 1
$E(X)=20$, $\mathrm{Var}(X)=9$. Majoriser $\mathbb{P}(|X-20|\ge 6)$.
Exercice 2
$X\sim\mathcal{B}(100,0{,}4)$. Majoriser $\mathbb{P}(|X-40|\ge 20)$.
Exercice 3
$\mathrm{Var}(X)=25$. Majoriser $\mathbb{P}(|X-E(X)|\ge 15)$.
Exercice 4
$E(X)=50$, $\mathrm{Var}(X)=16$. Majoriser $\mathbb{P}(|X-50|\ge 10)$.
Exercice 5 – Binomiale
$X\sim\mathcal{B}(200,0{,}3)$. Majoriser $\mathbb{P}(|X-60|\ge 20)$.