1️⃣ Définition générale d’une suite
Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ :
$$u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto u_n$$
On écrit :
$$u_0,\; u_1,\; u_2,\; u_3,\dots$$
Une suite peut être :
- arithmétique
- géométrique
- monotone
- bornée
- convergente
- définie par récurrence
- contractante
- alternée
- harmonique
- exponentielle ou logarithmique
2️⃣ Suites arithmétiques
Définition
Une suite arithmétique vérifie :
$$u_{n+1} = u_n + r$$
Formule explicite
$$u_n = u_0 + nr$$
Somme des n premiers termes
$$S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$$
Exemple avancé
$$u_0 = 7,\; r = -3 \Rightarrow u_n = 7 - 3n$$
$$S_{10} = \frac{11(7 + (-23))}{2} = -88$$
Propriétés avancées
- Une suite arithmétique est toujours de la forme $an + b$
- Elle diverge sauf si $r = 0$
- Elle est monotone si $r \neq 0$
3️⃣ Suites géométriques
Définition
$$u_{n+1} = q u_n$$
Formule explicite
$$u_n = u_0 q^n$$
Somme des n premiers termes
$$S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$
Exemple avancé
$$u_0 = 5,\; q = 0.5 \Rightarrow u_n = 5 \times 0.5^n$$
$$S_5 = 5 \times \frac{1 - 0.5^6}{1 - 0.5} = 9.6875$$
Propriétés avancées
- Si $|q| < 1$ alors $u_n \to 0$
- Si $q > 1$ alors $u_n \to +\infty$
- Si $q < -1$ la suite diverge en oscillant
4️⃣ Suites monotones, bornées et convergence
Suite croissante
$$u_{n+1} \ge u_n$$
Suite décroissante
$$u_{n+1} \le u_n$$
Suite majorée
$$u_n \le M$$
Suite minorée
$$u_n \ge m$$
Théorème fondamental
Une suite croissante et majorée converge.
Une suite décroissante et minorée converge.
Théorème de comparaison
$$u_n \le v_n \text{ et } v_n \to L \Rightarrow u_n \to L$$
5️⃣ Démonstration par récurrence – Cours complet
La démonstration par récurrence est une méthode essentielle
pour prouver qu’une propriété est vraie pour tous les entiers naturels.
🔹 Principe général
Pour démontrer qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$, on suit 3 étapes :
1) Initialisation : montrer que $P(0)$ (ou $P(1)$) est vraie.
2) Hérédité : supposer $P(n)$ vraie et démontrer qu’elle implique $P(n+1)$.
3) Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n$.
🔹 Exemple simple
Démontrer que :
$$u_n = 3n + 2$$
pour la suite définie par :
$$u_0 = 2,\qquad u_{n+1} = u_n + 3$$
✔ Étape 1 : Initialisation
On vérifie $P(0)$ :
$$u_0 = 2 = 3 \times 0 + 2$$
Donc la propriété est vraie au rang 0.
✔ Étape 2 : Hérédité
On suppose que $P(n)$ est vraie, c’est‑à‑dire :
$$u_n = 3n + 2$$
Alors :
$$u_{n+1} = u_n + 3 = (3n + 2) + 3 = 3(n+1) + 2$$
Donc $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ : l’hérédité est vérifiée.
✔ Étape 3 : Conclusion
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire.
Donc elle est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
🔹 Exercice interactif
Démontrer que :
$$u_n = 5n + 1$$
pour la suite :
$$u_0 = 1,\qquad u_{n+1} = u_n + 5$$
6️⃣ Suites spéciales
Suite harmonique
$$u_n = \frac{1}{n}$$
Converge vers 0.
Suite alternée
$$u_n = (-1)^n a_n$$
Suite exponentielle
$$u_n = a^n$$
Suite logarithmique
$$u_n = \ln(n)$$