Autrement dit : la moyenne observée converge en probabilité vers l’espérance.
3️⃣ Interprétation intuitive
Plus on répète une expérience, plus la moyenne se stabilise.
La LFGN justifie l’expression : « la loi des grands nombres ».
Elle explique pourquoi les fréquences observées approchent les probabilités.
4️⃣ Exemples détaillés
Exemple 1 – Lancer de pièce
On lance une pièce équilibrée $n$ fois.
$$E(X_i)=0{,}5.$$
La LFGN dit que :
$$\overline{X}_n \to 0{,}5.$$
Plus $n$ est grand, plus la fréquence de « pile » se rapproche de $0{,}5$.
Exemple 2 – Loi binomiale
Si $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, alors :
$$\frac{X}{n} \to p.$$
La proportion de succès se rapproche de la probabilité $p$.
Exemple 3 – Production industrielle
Une machine produit des pièces de masse moyenne $50$ g.
En mesurant la moyenne de $n$ pièces :
$$\overline{X}_n \to 50.$$
Plus on prélève d’échantillons, plus la moyenne mesurée est fiable.
5️⃣ Exercices interactifs
Exercice 1
On lance une pièce équilibrée $n$ fois.
Vers quelle valeur converge la fréquence de « pile » ?
Exercice 2
Si $X\sim\mathcal{B}(n,0{,}3)$, vers quoi converge $X/n$ ?
Exercice 3
Une variable aléatoire a pour espérance $12$.
Vers quoi converge la moyenne de $n$ observations indépendantes ?
Exercice 4
On mesure la durée de vie (en heures) d’un composant électronique.
L’espérance vaut $1000$.
Que dit la LFGN sur la moyenne de $n$ mesures ?
Exercice 5
On répète une expérience dont l’issue vaut $1$ avec probabilité $0{,}8$ et $0$ sinon.
Vers quoi converge la fréquence des « succès » ?