1️⃣ Expérience de Bernoulli
Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues :
- succès (probabilité $p$)
- échec (probabilité $1-p$)
Exemples :
- Lancer une pièce : succès = “pile”.
- Tirer une carte rouge dans un jeu de 52 cartes.
- Réussir un tir au basket.
2️⃣ Répétition de $n$ expériences indépendantes
On répète la même expérience de Bernoulli n fois, dans les mêmes conditions.
$$X = \text{nombre de succès obtenus sur } n \text{ essais}$$
Alors $X$ suit une loi binomiale :
$$X \sim \mathcal{B}(n,p)$$
3️⃣ Formule de la loi binomiale
La probabilité d’obtenir exactement $k$ succès est :
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
Exemple :
On lance une pièce équilibrée 4 fois.
Probabilité d’obtenir exactement 2 piles :
$$P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^2=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.$$
4️⃣ Espérance, variance, écart-type
$$E(X)=np$$
$$V(X)=np(1-p)$$
$$\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$$
Exemple :
$X \sim \mathcal{B}(20,0.3)$
$$E(X)=6,\quad V(X)=4.2,\quad \sigma(X)\approx 2.05.$$
5️⃣ Probabilités cumulées
On peut calculer :
- $P(X \le k)$
- $P(X \ge k)$
- $P(a \le X \le b)$
En pratique, on utilise souvent une calculatrice ou un logiciel.
6️⃣ Intervalle de fluctuation
Pour $n$ grand, un intervalle de fluctuation au seuil 95% est :
$$\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}},\; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$
Pour $n=400$ et $p=0.4$ :
$$\frac{1}{\sqrt{400}}=0.05$$
Intervalle : $[0.35,\;0.45]$.
7️⃣ Exercices interactifs
Exercice 1 – Probabilité exacte
On a $X \sim \mathcal{B}(5,0.4)$. Calculer $P(X=2)$.
Exercice 2 – Espérance
Pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$, donner $E(X)$.
Exercice 3 – Intervalle de fluctuation
Pour $n=100$, calculer $1/\sqrt{n}$.