Intégrales – Cours & Exercices interactifs

1️⃣ Primitives

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :

$$F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I.$$

Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x)+C$ avec $C\in\mathbb{R}$.

Primitives usuelles

\[ \int k\,dx = kx + C,\quad k\in\mathbb{R} \] \[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1 \] \[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \] \[ \int e^x\,dx = e^x + C,\quad \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C \] \[ \int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C \]

Linéarité

$$\int \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int f(x)\,dx + \beta \int g(x)\,dx.$$

2️⃣ Intégrale définie

Soit $f$ continue sur $[a,b]$. On définit l’intégrale définie de $f$ entre $a$ et $b$ :

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors :

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$$

Interprétation géométrique

Si $f(x)\ge 0$ sur $[a,b]$, alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ représente l’aire de la région comprise entre la courbe de $f$, l’axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$.

3️⃣ Propriétés essentielles

Linéarité

$$\int_a^b \big(\lambda f(x) + g(x)\big)\,dx = \lambda \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx.$$

Additivité

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{pour tout } c\in[a,b].$$

Changement de bornes

$$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx.$$

Positivité

\[ \text{Si } f(x)\ge 0 \text{ sur } [a,b],\quad \int_a^b f(x)\,dx \ge 0. \]

4️⃣ Exemples classiques

Exemple 1 :
Calculer $\displaystyle \int_0^2 (3x^2 - 4)\,dx$.

Une primitive est $F(x)=x^3 - 4x$.
Donc : \[ \int_0^2 (3x^2 - 4)\,dx = F(2)-F(0) = (8-8)-0 = 0. \]
Exemple 2 :
Calculer $\displaystyle \int_0^1 e^{2x}\,dx$.

Une primitive est $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}$.
Donc : \[ \int_0^1 e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}(e^2 - 1). \]
Exemple 3 (aire) :
Aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ entre 0 et 1 : \[ \mathcal{A} = \int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}. \]

5️⃣ Lien dérivée / intégrale

Si $f$ est continue sur $[a,b]$, on définit :

$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.$$

Alors $F$ est dérivable sur $(a,b)$ et :

$$F'(x) = f(x).$$

Intégrer puis dériver ramène à la fonction de départ.

6️⃣ Exercices interactifs

Exercice 1 – Primitive d’un polynôme

Donner une primitive de $f(x)=4x^3 - 2x$.

Exercice 2 – Intégrale définie polynomiale

Calculer $\displaystyle \int_0^1 (2x^2 + 1)\,dx$.

Exercice 3 – Intégrale d’une exponentielle

Calculer $\displaystyle \int_0^2 e^{3x}\,dx$.

Exercice 4 – Aire sous une courbe

On considère $f(x)=2x$ sur $[0,3]$. Donner l’aire de la région comprise entre la courbe de $f$, l’axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$.

Exercice 5 – Comparaison d’intégrales

On sait que $f(x)\ge 0$ sur $[1,4]$ et que $f(x)\le 2$ sur $[1,4]$. Que peut-on dire de $\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx$ ?