1️⃣ Repère de l’espace & coordonnées
On travaille dans un repère orthonormé $(O; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
$$A(x_A, y_A, z_A)$$
Distance entre deux points
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$
Milieu d’un segment
$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$$
A(1,2,3), B(5,4,1)
$$AB=\sqrt{(4)^2+(2)^2+(-2)^2}=\sqrt{24}$$
$$M(3,3,2)$$
2️⃣ Vecteurs de l’espace
Coordonnées
$$\vec{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)$$
Norme
$$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
Produit scalaire
$$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ ⇔ vecteurs orthogonaux.
3️⃣ Droites dans l’espace
Équations paramétriques
$$\begin{cases}
x=x_0+at\\
y=y_0+bt\\
z=z_0+ct
\end{cases}$$
où $(a,b,c)$ est un vecteur directeur.
Parallélisme
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
4️⃣ Plans dans l’espace
Équation cartésienne
$$ax+by+cz+d=0$$
Vecteur normal : $(a,b,c)$.
Droite ⟂ plan
Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.
5️⃣ Positions relatives
- Droite // plan
- Droite ⟂ plan
- Droite sécante au plan
- Plans parallèles
- Plans sécants
Droite $d$ : vecteur directeur $(1,2,3)$
Plan $P$ : normal $(2,4,6)$
→ $d ⟂ P$ car $(1,2,3)$ est colinéaire à $(2,4,6)$.
6️⃣ Exercices interactifs
Exercice 1 – Distance
Calculer la distance entre A(1,2,3) et B(4,6,3).
Exercice 2 – Produit scalaire
Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ pour $\vec{u}(1,2,3)$ et $\vec{v}(2,0,-1)$.
Exercice 3 – Plan
Le vecteur normal du plan $2x-3y+z+5=0$ est :