Équations différentielles – Terminale Spé

1️⃣ Notion d’équation différentielle du 1er ordre

Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une fonction inconnue $y$ (ou $f$) et sa dérivée $y'$.

En Terminale Spécialité, on étudie essentiellement les équations du type :

$$y' = ay + b \quad\text{où } a,b \text{ sont des réels.}$$

Une fonction $y$ est solution si, pour tout $x$ de l’intervalle considéré, l’égalité est vérifiée.

2️⃣ Cas fondamental : $y' = ay$

2.1. Forme de la solution générale

$$y' = ay \quad\Longrightarrow\quad y(x) = Ce^{ax},\; C\in\mathbb{R}.$$

On vérifie facilement : si $y(x)=Ce^{ax}$, alors $y'(x)=aCe^{ax}=ay(x)$.

Exemple :
Résoudre $y' = 3y$.
Solution générale : $y(x)=Ce^{3x}$.

2.2. Interprétation graphique

3️⃣ Cas général : $y' = ay + b$

3.1. Méthode générale

On procède en deux étapes :

  1. On cherche une solution particulière $y_p$.
  2. On résout l’équation homogène associée $y' = ay$.

3.2. Recherche d’une solution particulière constante

On cherche $y_p$ constante : $y_p(x)=k$.

Alors $y_p'(x)=0$ et l’équation $y' = ay + b$ devient :

$$0 = ak + b \quad\Longrightarrow\quad k = -\dfrac{b}{a}\quad (a\neq 0).$$

3.3. Résolution de l’homogène associée

Équation homogène associée :

$$y' = ay \quad\Longrightarrow\quad y_h(x)=Ce^{ax}.$$

3.4. Solution générale

La solution générale de $y' = ay + b$ est :

$$y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}.$$
Exemple :
Résoudre $y' = 2y + 6$.

1. Solution particulière constante : $0 = 2k + 6 \Rightarrow k = -3$.
2. Solution de l’homogène : $y_h(x)=Ce^{2x}$.
3. Solution générale : $$y(x) = Ce^{2x} - 3.$$

4️⃣ Condition initiale et détermination de $C$

Une condition initiale est une information du type : $$y(x_0)=y_0.$$ Elle permet de déterminer la constante $C$.

Exemple :
Résoudre $y' = 2y + 6$ avec $y(0)=5$.

On sait déjà que la solution générale est $y(x)=Ce^{2x}-3$.
On impose la condition : $$y(0)=5 \Rightarrow C\cdot e^{0} - 3 = 5 \Rightarrow C = 8.$$ Donc la solution particulière est : $$y(x)=8e^{2x}-3.$$

Formule directe pour $C$

À partir de $y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$ et $y(x_0)=y_0$ :

$$y_0 = Ce^{ax_0} - \dfrac{b}{a} \quad\Longrightarrow\quad C = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{-ax_0}.$$

5️⃣ Résumé des formules essentielles

Cas 1 : $y' = ay$ $$y(x) = Ce^{ax}.$$
Cas 2 : $y' = ay + b$ $$y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}.$$
Condition initiale : $y(x_0)=y_0$ $$C = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{-ax_0}.$$

6️⃣ Mini‑exercices interactifs

Exercice 1 – Cas $y' = ay$

Résoudre $y' = -4y$ (donner la forme générale).

Exercice 2 – Cas $y' = ay + b$

Résoudre $y' = 3y - 9$ (solution générale).

Exercice 3 – Avec condition initiale

Résoudre $y' = 5y + 10$ avec $y(0)=0$.

Exercice 4 – Vérification rapide

On considère $y(x)=2e^{3x}-1$. Vérifier si $y$ est solution de l’équation $y' = 3y + k$ pour une certaine constante $k$.