1️⃣ Dérivée d’une fonction en un point
La dérivée mesure la pente de la tangente à la courbe de $f$ en un point.
$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Exemple :
Pour $f(x)=x^2$,
$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a.$$
Si la limite existe, $f$ est dérivable en $a$.
Si $f$ est dérivable en $a$, alors elle est continue en $a$.
2️⃣ Tangente à la courbe
L’équation de la tangente en $x=a$ est :
$$T_a : y = f(a) + f'(a)(x-a)$$
Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$ :
$$f(1)=1,\quad f'(1)=2$$
$$T_1 : y = 1 + 2(x-1) = 2x - 1.$$
3️⃣ Variations d’une fonction
Le signe de la dérivée indique le sens de variation :
- $f'(x)>0$ → $f$ est croissante
- $f'(x)<0$ → $f$ est décroissante
- $f'(x)=0$ → point critique (maximum, minimum ou point d’inflexion)
Pour $f(x)=x^3-3x$,
$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$
On en déduit un tableau de variations.
4️⃣ Dérivée seconde & Convexité
La dérivée seconde mesure la courbure de la fonction.
Point d’inflexion
Un point $a$ est un point d’inflexion si :
$$f''(a)=0 \quad \text{et} \quad f'' \text{ change de signe en } a.$$
Pour $f(x)=x^3$,
$$f''(x)=6x$$
$f''$ change de signe en 0 → point d’inflexion.
5️⃣ Fonctions usuelles
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(e^x)' = e^x$
- $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
6️⃣ Exercices interactifs
Exercice 1 – Dérivée simple
Donner la dérivée de $f(x)=3x^2$.
Exercice 2 – Tangente
Pour $f(x)=x^2$, donner l’équation de la tangente en $x=2$.
Exercice 3 – Convexité
La fonction $f(x)=x^3$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?