Dénombrement – Cours complet & Exercices interactifs
1️⃣ Règle fondamentale du dénombrement
Lorsqu’une expérience se déroule en plusieurs étapes indépendantes, le nombre total
de possibilités est le produit du nombre de choix à chaque étape.
$$N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k.$$
Exemple :
Un mot de 5 lettres (A–Z), répétition autorisée :
$$26^5.$$
2️⃣ Factorielle
$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n,\qquad 0! = 1.$$
$7! = 5040$.
3️⃣ Permutations
Une permutation correspond à un ordre possible de tous les éléments.
$$P_n = n!$$
Ranger 8 livres : $8!$ possibilités.
4️⃣ Arrangements
On choisit k éléments parmi n, et l’ordre compte.
$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$
Former un podium parmi 12 athlètes :
$$A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10.$$
5️⃣ Combinaisons
On choisit k éléments parmi n, et l’ordre ne compte pas.
$$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Choisir 6 numéros parmi 49 : $\binom{49}{6}$.
6️⃣ Cas avec répétition
Si chaque choix peut être répété, alors :
$$n^k$$
Codes à 4 chiffres : $10^4$.
7️⃣ Tableau récapitulatif
| Situation |
Ordre ? |
Répétition ? |
Formule |
| Permutation |
Oui |
Non |
\( n! \) |
| Arrangement |
Oui |
Non |
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \) |
| Combinaison |
Non |
Non |
\( C_n^k = \binom{n}{k} \) |
| Avec répétition |
Oui |
Oui |
\( n^k \) |
8️⃣ Exercices interactifs
Exercice 1 – Factorielle
Calculer \(7!\).
Exercice 2 – Permutations
Combien de permutations de 6 objets ?
Exercice 3 – Arrangements
Combien de podiums possibles parmi 10 élèves ?
Exercice 4 – Combinaisons
Combien de groupes de 4 élèves parmi 15 ?
Exercice 5 – Codes
Combien de codes de 3 lettres (A–Z), répétition autorisée ?
Exercice 6 – Mélange ordre / pas ordre
Parmi 20 élèves, on choisit :
- un délégué et un sous-délégué (postes distincts),
- puis un groupe de 3 élèves (sans ordre).
Exercice 7 – Mots sans répétition
Combien de mots de 4 lettres distinctes peut-on former avec les 26 lettres ?
Exercice 8 – Mots avec répétition
Combien de mots de 6 lettres peut-on former avec répétition autorisée ?
Exercice 9 – Combinaisons avancées
Combien de façons de choisir 5 cartes dans un jeu de 52 ?
Exercice 10 – Sélections mixtes
On choisit 2 professeurs parmi 8, puis 3 élèves parmi 30.
Combien de choix possibles ?