On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et un réel $a$ appartenant à $I$ (ou éventuellement une borne de $I$).
On dit que $f(x)$ a pour limite $L$ en $a$ et on écrit
$$\lim_{x\to a} f(x) = L$$
si les valeurs de $f(x)$ se rapprochent autant qu’on veut de $L$ lorsque $x$ se rapproche de $a$.
Intuitivement : quand $x$ est très proche de $a$, $f(x)$ est très proche de $L$.
Limites infinies
$$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty$$
signifie que les valeurs de $f(x)$ deviennent arbitrairement grandes lorsque $x$ se rapproche de $a$.
Exemple :
$$f(x)=\frac{1}{(x-2)^2} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 2} f(x)=+\infty.$$
2️⃣ Limites en $+\infty$ et $-\infty$
On s’intéresse au comportement de $f(x)$ lorsque $x$ devient très grand (ou très petit).
$$\lim_{x\to +\infty} f(x) = L$$
signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ lorsque $x$ devient très grand.
Exemples :
$$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$
$$\lim_{x\to +\infty} (2x+3) = +\infty$$
Asymptotes
Asymptote horizontale : si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=L$, alors la droite $y=L$ est asymptote horizontale.
Asymptote verticale : si $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$, alors la droite $x=a$ est asymptote verticale.
3️⃣ Opérations sur les limites
Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $a$ un réel. On suppose que les limites existent.
Si $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L$ et $\displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M$, alors
$$\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M$$
$$\lim_{x\to a} (f(x)\times g(x)) = L\cdot M$$
Si $M\neq 0$, $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$$
Formes indéterminées classiques
$\dfrac{0}{0}$
$\dfrac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$
Dans ces cas, il faut transformer l’expression (factorisation, mise au même dénominateur, etc.).
4️⃣ Continuité en un point
Une fonction $f$ est continue en $a$ si :
$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a).$$
Autrement dit, la courbe de $f$ ne présente pas de “saut” au point d’abscisse $a$.
Continuité sur un intervalle
On dit que $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Exemples de fonctions continues sur $\mathbb{R}$ :
Les polynômes
Les fonctions rationnelles là où elles sont définies
La fonction exponentielle $e^x$
La fonction logarithme $\ln(x)$ sur $]0,+\infty[$
5️⃣ Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit $f$ continue sur un intervalle $[a,b]$.
Si $f(a)\leq k \leq f(b)$ (ou $f(b)\leq k \leq f(a)$),
alors il existe au moins un réel $c\in[a,b]$ tel que
$$f(c)=k.$$
Application :
Pour montrer qu’une équation $f(x)=0$ admet une solution dans $[a,b]$,
on vérifie que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés.
6️⃣ Exercices interactifs
Exercice 1 – Limite en $+\infty$
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
Quelle est la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?
Exercice 2 – Asymptote verticale
On considère $g(x)=\dfrac{1}{x-3}$.
Donner l’abscisse de l’asymptote verticale.
Exercice 3 – Continuité
On définit $h$ par :
$$h(x)=\begin{cases}
x^2 & \text{si } x\leq 1 \\
2x-1 & \text{si } x>1
\end{cases}$$
$h$ est-elle continue en $1$ ?
Exercice 4 – TVI
On considère $f(x)=x^3-2x+1$ sur $[0,1]$.
Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0,1]$.