La matrice $\begin{pmatrix}7&5\\3&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible?

$\quad$

Le déterminant de la matrice vaut $7\times 2-5\times 3=-1\neq 0$.
La matrice est donc inversible.

La matrice $\begin{pmatrix}6&4\\3&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible?

$\quad$

Le déterminant de la matrice vaut $6\times 2-4\times 3= 0$.
La matrice n’est donc pas inversible.

$\quad$

Montrer que l’inverse de la matrice $A=\begin{pmatrix}2&3 \\5&8\end{pmatrix}$ est la matrice $B=\begin{pmatrix}8&-5\\5&2\end{pmatrix}$.

$\quad$

On a $AB=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
La matrice $A$ est donc inversible et $A^{-1}=B$.

1. Démontrer que la matrice $A=\begin{pmatrix} 3&11\\2&5\end{pmatrix}$ est inversible et déterminer son inverse.

   $\quad$

2. Quelle propriété illustre-t-on avec ces calculs?

Le déterminant de $A$ est :
$\begin{align*} \det(A)&=3\times 5-2\times 11\\
&=-7 \\
&\neq 0\end{align*}$

$A$ est donc inversible et $A^{-1}=\dfrac{-1}{7}\begin{pmatrix}5&-11\\-2&3\end{pmatrix}$.

$\quad$

Démontrer que la matrice $A=\begin{pmatrix} 5&7\\12&3\end{pmatrix}$ est inversible et déterminer son inverse.

$\quad$

Le déterminant de $A$ est :
$\begin{align*} \det(A)&=5\times 3-7\times 12\\
&=-69 \\
&\neq 0\end{align*}$

$A$ est donc inversible et $A^{-1}=\dfrac{-1}{69}\begin{pmatrix}3&-7\\-12&5\end{pmatrix}$.

$\quad$

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&1&1\\1&4&1\\1&1&4\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$ et montrer qu’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $A^2=\alpha A+\beta I_3$.
En déduire que la matrice $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

$\quad$

$A^2=\begin{pmatrix}18&9&9\\9&18&9\\9&9&18\end{pmatrix}$
Ainsi $A^2=9A-18I_3$.
Donc $A^2-9A=-18I_3 \ssi A\left(A-9I_3\right)=-18I_3 \ssi A\left[-\dfrac{1}{18}\left(A-9I_3\right)\right]=I_3$.

Par conséquent $A$ est inversible et $A^{-1}=-\dfrac{1}{18}\left(A-9I_3\right)$.

$\quad$

1. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&-1&1\\1&-2&0\end{pmatrix}$.
   Calculer $A^3-A$. En déduire que $A$ est inversible et déterminer son inverse.

   $\quad$

1. On a $A^2=\begin{pmatrix}3&-4&2\\1&-1&-1\\1&2&0\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}5&0&2\\0&3&1\\1&-2&4\end{pmatrix}$.
   Ainsi $A^3-A=4I_3 \Leftrightarrow A\left(A^2-I_3\right)=4I_3 \Leftrightarrow A\left[\dfrac{1}{4}\left(A^2-I_3\right)\right]=I_3$.
   Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\left(A^2-I_3\right)$.

   
   

Soient $(A,B)\in \left(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\right)^2$ tels que $AB=A+I_n$.

1. Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse.
   $\quad$

2. En déduire que $AB=BA$.
   

1. $AB=A+I_n \Leftrightarrow AB-A=I_n \Leftrightarrow A\left(B-I_n\right)=I_n$.
   Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=B-I_n$.
   $\quad$

2. Méthode 1 : $AB-BA=A+I_n-BA=\left(I_n-B\right)A+I_n=-I_n+I_n=0_n$
   Ainsi $AB=BA$
   $\quad$
   Méthode 2
   On multiplie $A^{-1}=B-I_n$ à gauche par $A$.
   $\begin{align*}A^{-1}=B-I_n &\Leftrightarrow AA^{-1}=AB-A \\&\Leftrightarrow I_n=AB-A\\&\Leftrightarrow AB=I_n+A\end{align*}$
   On multiplie $A^{-1}=B-I_n$ à droite par $A$.
   $\begin{align*}A^{-1}=B-I_n &\Leftrightarrow A^{-1}A=BA-A\\ &\Leftrightarrow I_n=BA-A\\&\Leftrightarrow BA=I_n+A\end{align*}$
   Ainsi $AB=BA=I_n+A$.
   $\quad$