$A=\begin{pmatrix} 1&-2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&-3\end{pmatrix}$.
Déterminer la matrice $AB$.
$\quad$
$\begin{align*} AB&=\begin{pmatrix}1\times 2-2\times (-3)\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}8\end{pmatrix}\end{align*}$
Effectuer les produits suivants :
-
$\begin{pmatrix}2&3\\-1&-10\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}$
$\quad$
-
$\begin{pmatrix}4&-1\\2&-2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&-2\\-1&3\end{pmatrix}$
$\quad$
-
$\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix}$
$\quad$
-
$\begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}2&3\\-1&-10\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-6\\-3&20\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}4&-1\\2&-2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&-2\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&-11\\6&-10\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
$\quad$
Effectuer les produits suivants :
$\begin{pmatrix}1&2&-2\\3&0&1\\-2&-1&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4&0&-1\\-1&2&3\\2&1&2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\1&2&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&-3&2\\-3&2&-1\\4&0&2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}2&-1&-2\\-1&-1&1\\4&3&4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&1&2\\1&-1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}-2&4&-2\\3&-2&1\\1&3&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\\2&-2&3\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}1&2&-2\\3&0&1\\-2&-1&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4&0&-1\\-1&2&3\\2&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2&1\\14&1&-1\\-1&1&5\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\1&2&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&-3&2\\-3&2&-1\\4&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-7&4\\-3&2&-1\\7&1&6\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}2&-1&-2\\-1&-1&1\\4&3&4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&1&2\\1&-1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&1&4\\-6&1&-2\\-6&1&-2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}-2&4&-2\\3&-2&1\\1&3&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\\2&-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12&8&-6\\10&-4&3\\-3&5&-3\end{pmatrix}$
$\quad$
Calculer les produits $AB$ et $BA$ avec les matrices suivantes :
$A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}$
$\quad$
Quelle propriété illustre-t-on avec ces calculs?
$AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix}4&8\\-2&-4\end{pmatrix}$
$\quad$
La multiplication de deux matrices n’est pas commutative.
$\quad$
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$.
$\quad$
On obtient $A^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}37&54\\81&118\end{pmatrix}$ et $A^4=\begin{pmatrix}199&290\\435&634\end{pmatrix}$
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} -1&0&1\\3&1&2\\0&-2&1\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$.
$\quad$
On obtient $A^2=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&-3&7\\-6&-4&-3\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}-7&-2&-3\\-9&-17&1\\-6&-2&-17\end{pmatrix}$ et $A^4=\begin{pmatrix}1&4&-14\\-42&-19&-42\\12&36&-19\end{pmatrix}$
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$ et $A^3$.
$\quad$
Que vaut $A^n$ pour tout entier $n\geq 3$.
$\quad$
On a $A^2=\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.
$A^3=0_3$ (matrice nulle d’ordre $3$).
$\quad$
Ainsi, pour tout entier $n> 3$ on a
$\begin{align*} A^n&=A^3\times A^{n-3} \\
&=0_3\times A^{n-3} \\
&=0_3\end{align*}$
Ainsi, $A^3=0_3$ et, pour tout entier $n>3$, $A^n=0_3$.
Donc, pour tout entier n$n\geq 3$, $A^n=0_3$.
$\quad$
Remarque : On dit que la matrice $A$ est nilpotente.
$\quad$
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$ et $A^3$.
$\quad$
Que peut-on conjecturer pour $A^n$ où $n$ est un entier naturel non nul?
$\quad$
Démontrer la conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
$\quad$
On a $A^2=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=2A$ et $A^3=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}=4A$.
$\quad$
On peut donc conjecturer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=2^{n-1}A$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $P(n):~A^n=2^{n-1}A$.
Initialisation : Si $n=1$ alors :
$\begin{align*} 2^{n-1}A&=2^0A \\
&=1\times A\\
&=A\end{align*}$
Ainsi $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
&=2^{n-1}A\times A \\
&=2^{n-1}\times A^2 \\
&=2^{n-1}\times 2A \\
&=2^nA\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, $A^n=2^{n-1}A$.
$\quad$
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$ et $A^3$.
$\quad$
Que peut-on conjecturer pour $A^n$ où $n$ est un entier naturel non nul?
$\quad$
Démontrer la conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
$\quad$
On a $A^2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
$\quad$
On peut donc conjecturer que, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
$\quad$
Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on pose $P(n):~A^n=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Initialisation : Si $n=1$ alors $\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=A$ et $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
&=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}1&0&1\times 1+n\times 1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}1&0&n+1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
$\quad$
Remarque : La propriété est également vraie si $n=0$ car $A^0=I_3$ ce qui correspond à la matrice obtenue précédemment.
$\quad$
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$ et $A^3$.
$\quad$
Que peut-on conjecturer pour $A^n$ où $n$ est un entier naturel non nul?
$\quad$
Démontrer la conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
$\quad$
On obtient $A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&9\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&8&0\\0&0&-27\end{pmatrix}$.
$\quad$
On peut conjecturer que, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}$.
$\quad$
Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on pose $P(n):~A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}$.
Initialisation : $A^1=A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}$ et si $n=1$ alors $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}$.
Par conséquent $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
&=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{n+1}&0\\0&0&(-3)^{n+1}\end{pmatrix}\end{align*}$
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}$.
$\quad$
Remarque : Ici également, la propriété est vraie pour tout $n\in \N$.
$\quad$